Funzione integrale

Definizione 11.7

Supponiamo di avere una funzione . Fissiamo e entro . Allora

dipende da e da (siccome la funzione è integrabile in è integrabile anche in un sottointervallo).


Se fisso e faccio variare , allora

si dice funzione integrale.

 


E' una funzione definita su e dipende solo da , è fissato.


Se cambio la funzione cambia ma conserva le sue proprietà.


Se scelgo invece di e calcolo questa funzione differisce dalla precedente per una costante.


Infatti

(ho cambiato segno all'integrale e quindi ho invertito gli estremi) Per additività ottengo
Allora la differenza tra queste due funzioni è una costante.

Proprietà della funzione integrale

Teorema 11.7

Sia R-integrabile su , (quest'ipotesi è inclusa nel fatto che sia integrabile). Sia allora:

  1. è uniformemente continua in
  2. se in è continua, in è derivabile e vale
 


Nota: se ha una discontinuità di prima specie in , allora la proprietà 2 non è valida.


Se una funzione è continua nell'intervallo , allora la funzione integrale è una primitiva di su e quindi le primitive di sono quelle della forma .

Dimostrazione
  1. Siano ed entro . Valutiamo
    Invertendo gli estremi del secondo integrale ottengo
    Per il teorema dei moduli:
    Ma siccome , allora quindi .quindi la funzione è lipschitziana e uniformemente continua.
  2. Mostriamo che il rapporto incrementale tende a .Devo dimostrare che
    Riscrivendo ottengo:
    Raccolgo
    Sfrutto la continuità della funzione. Poiché la funzione è continua, fissato un troviamo un tale che se , si ha .Se , allora anche , (nell'integrale varia tra e ), allora
    Fissato ho trovato tale che se , allora e quindi il rapporto incrementale tende a
 

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema 11.8

Sia con , continua su . Allora se è una primitiva di si ha

 


Nota: Siccome è continua, è anche limitata e quindi integrabile, quindi l'iintegrale di esiste.


Una funzione integrale qualsiasi è una primitiva di , quindi ammette primitiva.


Dimostrazione

La dimostrazione deriva dai teoremi precedenti.


per il teorema dimostrato precedentemente sulle proprietà della funzione integrale. Questo implica che , ma questo equivale a

 


Questo teorema afferma che se conosco la primitiva di una funzione, allora l'integrale della funzione in è la differenza tra le primitive valutate nei due estremi dell'intervallo.


In ogni caso il calcolo delle primitive presenta delle difficoltà. Infatti, non è detto che partendo da funzioni che si esprimono mediante funzioni elementari, si ottenga come primitiva una funzione che si esprime mediante funzioni elementari.


Calcolando la primitiva di una funzione la sua espressione analitica si complica.

teorema della media integrale

Teorema 11.9

Sia continua su , allora esiste un in tale che

 
Dimostrazione

Si osserva che se è integrabile, allora

equivalentemente, se è compresa tra e , allora

Essendo continua, assume tutti i valori tra e poichè si ha:

per il teorema di Darboux esiste tale che

 

Integrale di Cauchy

Esercizio 11.1

Sia continua in , sia chiuso e limitato, allora

Nell'integrale di Cauchy si prende una partizione dell'intervallo in n intervallini di lunghezza relative a suddivisioni di passo costante.


Il limite rappresenta un numero che sta tra le somme inferiori e superiori.


Si mostra facilmente che questo limite è uguale a facendo vedere che nel caso di funzioni continue il delle somme inferiori, con suddivisioni a passo costante, è uguale all' delle somme superiori riferite alle stesse suddivisioni.

 

Teorema fondamentale per le funzioni discrete

Supponiamo di avere una sommatoria e supponiamo di sapere che . Allora

Interpretandola banalmente come una primitiva di si ha il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni discrete.

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