Funzione integrabile

Definizione 11.5

Sia , con e . La funzione si dice integrabile su se

e il valore comune si chiama integrale su e si denota con

 


Esempio 11.6

Osserviamo che non sempre l'integrale superiore è uguale a quello inferiore, ad esempio se consideriamo la funzione di Dirichlet,

Fatta una qualsiasi suddivisione , in ogni intervallo della suddivisione ci sono numeri irrazionali, quindi in ogni intervallo è . Quindi .


, perchè in ogni intervallo della suddivisione vi sono numeri razionali. Quindi è 1.


Questa funzione non è integrabile, perchè .

 



Quest'esempio mostra che bisogna capire quali sono le classi di funzioni integrabili.

Vedremo che le funzioni monotone e le funzioni continue su un intervallo con un numero finito di discontinuità sono integrabili. Anche le funzioni monotone a pezzi e continue a pezzi sono integrabili.

Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità

Criterio: Sia limitata. Allora, è integrabile su se e solo se esiste una suddivisione tale che

Dimostrazione

Supponiamo che esista una suddivisione che soddisfa la tesi. Allora si ha che:

.


Allora la differenza

Allora per arbitrarietà di l'integrale superiore è uguale a quello inferiore.


Viceversa, se è integrabile, esistono partizioni e tali che

Se prendo un raffinamento comune a e ottengo
quindi
Siccome è integrabile per ipotesi, allora e ottengo:

 


Da questo teorema e da quello di continuità uniforme si può dimostrare il seguente teorema:

Teorema 11.2

Sia con una funzione continua su , allora è integrabile su .

 
Dimostrazione

Siccome è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora è limitata, perchè ammette massimo e minimo (quindi l'ipotesi che sia limitata non è necessaria).


La funzione è continua in un compatto e per Heine-Cantor è uniformemente continua. Quindi se fisso , esiste tale che

Consideriamo una suddivisione tale che tale che .


Allora perchè per la definizione di continuità uniforme due qualsiasi valori distinti della funzione hanno differenza minore di .


Allora .

 

Interpretazione geometrica

Data una funzione tale che e data una partizione dell'intervallo chiuso e limitato, abbiamo considerato le somme inferiori

e le somme superiori
Abbiamo definito

Se è Riemann-integrabile su (cioè se ) e supponiamo che e , tracciando il grafico della funzione si forma un trapezoide compreso tra l'asse x, le rette e e il grafico di . Per definizione l'area del trapezoide è:

Generalmente dato un insieme il cui contorno non sia un trapezoide si può dividere in tanti trapezoidi e calcolare l'area di ciascuno. L'area dell'insieme è la somma delle aree dei trapezoidi.

Geometricamente, l'integrabilità di si traduce nel fatto che c'è un plurirettangolo di misura piccola a piacere che contiene il grafico della funzione , si veda il criterio di integrabilità.

Funzioni discontinue

Come già dimostrato, se una funzione è continua in , allora è integrabile. Si può anche mostrare che

Proposizione 11.1

Se una funzione ha un'infinità numerabile di punti di discontinuità, è ancora integrabile.

 
Dimostrazione

Noi mostreremo questo nel caso finito.


Le discontinuità in numero finito, si possono isolare.


Supponiamo prima che la funzione abbia un unico punto di discontinuità.


Sia il punto di discontinuità, allora per ogni negli intervalli e la funzione è continua. In ognuno dei due intervalli prendo una partizione in modo che la distanza tra somme superiori e somme inferiori sia minore di .


Se considero l'intervallo la lunghezza è e la variazione massima delle è . Quindi è il massimo contributo che l'intervallino può dare differenza tra le somme superiori e inferiori. Pongo Allora se considero la partizione in cui aggiungo l'intervallo ottengo:

Si procede allo stesso modo se i punti di discontinuità sono numerabili, associando a ognuno un intervallino in modo che se .

 

Integrabilità delle funzioni monotone

Teorema 11.3

Sia , monotona in , allora è integrabile.

 

(una funzione monotona in un intervallo assume sup e inf nei due estremi. In questo caso l'intervallo in cui la funzione è definita è limitato, quindi l'ipotesi che la funzione sia limitata è già inclusa nell'ipotesi che sia monotona in un intervallo).

Dimostrazione

Supponiamo che sia monotona crescente. Prendiamo una suddivisione di in n parti, allora . Infatti se ottengo e se ottengo .


Calcolo

è il valore maggiore assunto nell'intervallo , dalla funzione, che è monotona crescente.
è il minimo in . Facendo la differenza ottengo che
Se , la differenza è minore di .

 


Le funzioni monotone possono avere al piu' un'infinità numerabile di punti di discontinuità di salto.

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