Teorema di Cantor

Teorema 3.7

I punti dell'intervallo aperto sono un insieme non numerabile.

 
Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che l'intervallo sia numerabile. Supponiamo cioè che i numeri dell'intervallo possano essere messi in corrispondenza con gli interi. Considero l'insieme con:

Se trovo un punto di che non appartiene a significa che la corrispondenza non è biunivoca perchè non è suriettiva. Costruisco un numero tale che la prima cifra sia diversa dalla prima cifra di , la seconda cifra è diversa dalla seconda cifra di , la -esima cifra sia diversa dalla -esima cifra di , e così via. Il numero sarà della forma , con
Questo numero è compreso tra 0 e 1. E' diverso da per la prima cifra, differisce da per la seconda cifra, differisce da per l'-esima cifra. Allora non sta nell'allineamento. Questo è assurdo.

 


L'intervallo ha una potenza superiore a e ha la stessa potenza di . Gli irrazionali (insieme ) non sono numerabili, perchè se fossero numerabili, anche sarebbe numerabile, essendo l'unione di due insiemi numerabili.

Gli irrazionali hanno la stessa potenza di .

Prendo un insieme qualsiasi non vuoto. Prendo l'insieme delle parti di . La cardinalità di è maggiore della cardinalità di (dimostrazione sul testo).

Con il modello logico non è possibile dimostrare se esiste un insieme con cardinalità intermedia tra intermedio tra il numerabile e il continuo.

L'insieme dei complessi ha la stessa cardinalità di .

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