Sviluppi di Mclaurin

Gli sviluppi di Mclaurin sono i polinomi di Taylor centrati nell'origine.

sviluppo di e^x

Sia Si ha e tutte le derivate successive di sono uguali a , quindi

Scriviamo la formula di Taylor per questa funzione
Questa formula del resto è utile nel calcolo dei limiti.

Se x è compreso tra e , si ha che . Il resto di Lagrange si può maggiorare in questo modo:
anche il secondo resto si può considerare come quando x tende a 0.


Un polinomio di grado approssima la funzione a meno di cifre decimali.


Sviluppiamo la stessa funzione con .

L'errore si può valutare tra e
La valutazione dell'errore è maggiore rispetto a prima, questo anche perchè nell'intervallo la funzione cresce piu' rapidamente.


La formula vale per tutti gli x, la maggiorazione vale per x nell'intervallo .


Se nella formula dello sviluppo si sostituisce , si ottiene:

con


Considero la serie

In funzione del parametro x, mostreremo che questa serie converge a .


Le somme parziali della serie sono

Per dimostrare che la serie converge a , dimostriamo che:
è il modulo del resto del polinomio di Taylor di e dipende da x, quindi
Per ogni fissato è una costante, mentre tende a 0 quando per il criterio del rapporto. Quindi ho dimostrato la convergenza della serie a .


Esercizio 10.1

Dando per definizione provare che .


Suggerimento: e sono serie assolutamente convergenti, facendo il prodotto secondo Cauchy delle due serie si ottiene la serie .

 
Dimostrazione

Prodotto secondo Cauchy:
Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle t_3 = a_0*b_3+a_1*b_2+a_2*b_1+a_3*b_0 = \\y^3/3!+x*y^2/2!+x^2*y/2!+x^3/3! = \frac{x^3+y^3+3x^2+3y^2}{3!} = \frac{(x+y)^3}{3!}}
Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle t_n = a_0*b_n+a_1*b_{n-1}+\dots+a_{n-1}*b_1+a_n*b_0 = \\1*y^n/n!+x*y^{n-1}/(n-1)!+\dots+x*y^{n-1}/(n-1)!+x^n/n! =}
Ho ottenuto la serie con termine -esimo delle somme parziali:
E' il polinomio di Taylor della serie .

 


Con la formula di Taylor si dimostra facilmente che è irrazionale.

Unicità della formula di Taylor con resto di Peano

Teorema 10.1

Sia Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=c_0+c_1*(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2\+c_n(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n} e sia anche Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)^2\+b_n(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n} allora , , (i coefficienti sono gli stessi).

 
Dimostrazione

Valuto la differenza tra le due espressioni.

perchè se fosse diverso da , quando gli altri termini tranne il resto tendono a 0 e rimane il resto che è diverso da 0, assurdo.


Divido tutto per e ripeto lo stesso ragionamento.

non può essere diverso da per lo stesso motivo, quindi e dividendo per si ottiene:
Procedo fino ad ottenere
Siccome , segue che
Quindi le due espressioni sono uguali.

 

Problema di algebra

Dati punti distinti del piano, esiste un solo polinomio di grado al piu' il cui grafico contiene gli punti?

  • Dati due punti distinti del piano esiste un'unica retta passante per i due punti.
  • Dati tre punti distinti esiste un'unica parabola passante per i tre punti.
  • Dati punti distinti c'è al piu' un polinomio di grado al piu' per cui il grafico di contiene gli punti.


Abbiamo già dimostrato che dato un punto e valori, esiste un unico polinomio di grado al piu' che in assume i valori , , e .


I coefficienti sono quindi bisogna dare condizioni per determinare il polinomio.


Per dimostrare il teorema serve il determinante di Vandermonde.

applicazione del teorema sull'unicità degli sviluppi

Considero la serie geometrica:

che converge a se .


Mostreremo che la somma parziale -esima della serie è il polinomio di Taylor arrestato all'ordine per .

Moltiplico il termine per tutti gli altri termini precedenti della serie (posso farlo, perchè se il termine -esimo delle somme parziali converge, se lo moltiplico per un numero la convergenza non viene influenzata).

e siccome
si ha
La funzione in è il polinomio di Taylor di grado a cui sommo un resto .

sviluppo di sin x e cos x

Sia e .

Il ciclo si ripete


sviluppo di Maclaurin centrato nell'origine: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \sin x=0+\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ \\ \frac{x^9}{9!}+\frac{x^11}{11!}+\dots+\frac{(-1)^n*x^{2k+1}}{(2k+1)!}+T_{2k+1}} I termini in cui la derivata in 0 è nulla si annullano. Ci sono segni alterni sulle potenze dispari e non ci sono le potenze pari.


Resto di Cauchy:

Resto di Lagrange:

Se ci limitiamo a


Se considero la serie:

si può dimostrare che converge assolutamente e converge a .


Dimostro che

Quindi la serie converge a


Il polinomio di Taylor della derivata di una funzione di ordine è la derivata del polinomio di ordine n della funzione: siccome la derivata di è lo sviluppo del coseno si ottiene derivando il polinomio di Taylor di ordine del seno.

Anche in questo caso si può dimostrare che la serie
converge assolutamente e converge a .

Sviluppo del logaritmo

La funzione ha come derivata .


La serie geometrica converge a

Per trovare lo sviluppo del logaritmo cerco un polinomio che derivato sia uguale a e che per valga . Il polinomio è
infatti la derivata è

Riscrivendo il polinomio in modo equivalente si ottiene

Il primo termine del polinomio di Taylor è il valore della funzione nel punto , e in questo caso è 0.

Sviluppo di arctan x

ha come derivata . Per il teorema dimostrato prima, si ha che lo sviluppo di è uguale a quello di , con l'unica differenza che sostituisco con :

Per trovare lo sviluppo dell'arcotangente cerco un polinomio che abbia come derivata e che valga 0 nell'origine.


Questo polinomio è

infatti derivando ottengo
e semplificando

funzione pari o dispari

Osservazione 10.3

Lo sviluppo di ha tutte le potenze dispari mentre le derivate per le potenze pari si annullano: per questo si dice che è una funzione dispari. Lo sviluppo del coseno ha tutte le potenze pari e quindi si dice che è una funzione pari.


La derivata di una funzione dispari è pari. E' infatti facile vedere che se è pari (cioè se ) tutte le derivate di ordine dispari nell'origine si annullano, mentre se è dispari (cioè se ) sono tutte le derivate di ordine pari che si annullano nell'origine.

I loro sviluppi nell'origine hanno quindi solo potenze pari o dispari rispettivamente.

 

sviluppo delle funzioni iperboliche

Lo sviluppo di nell'origine è uguale a quello del seno ma senza l'alternanza dei segni.

Analogamente lo sviluppo del coseno iperbolico è uguale a quello del coseno ma senza l'alternanza dei segni.

Sviluppo di polinomi di Taylor

Se ho un polinomio di grado e ne scrivo il polinomio di Taylor di grado , ottengo lo stesso polinomio di partenza, anche se potrebbe essere centrato in un altro punto.


si ha

dove

Se è intero positivo, tutti i termini sono nulli quando al numeratore per un certo e quindi a partire da .


Se è intero negativo o è un numero positivo ma non intero i coefficienti non si annullano. .


se si ottiene lo sviluppo della radice di

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