Resto

Si dimostra che il polinomio di Taylor, scelto in modo che abbia il valore della funzione e tutte le derivate nel punto uguali alla funzione, approssimi la funzione. Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x) = p_n(x)+t_n \hbox{con $t_n=$ resto}}

Si cerca un modo per valutare il resto.


Se il polinomio approssima la funzione, il resto è piccolo.


Esistono vari tipi di valutazione del resto.


La valutazione del resto data da Peano dà un'idea di cosa succede alla funzione per .


La valutazione del resto di Lagrange invece descrive cosa succede alla funzione in un intervallo contenente .


Esistono anche valutazioni integrali del resto.

valutazione del resto data da Peano

Sia una funzione definita in a valori in , siano e appartenenti ad .


Per ipotesi, ammette tutte le derivate fino all'ordine in . Allora

e quindi
Questa formulazione assume rilevanza quando .


La formula del resto di Peano equivale a scrivere che

valutazione del resto data da Lagrange

Sia derivabile in , sino all'ordine .


Allora

con compreso tra 0 e 1, quindi è compreso tra e .


La forma del resto è uguale a quella degli altri termini del polinomio di Taylor, solo che la derivata è calcolata in un punto incognito, tra e come nel teorema di Lagrange.


Va mostrato che dipende da .


Questa formula può essere utile quando si ha una buona valutazione delle derivate -esime.


Se le derivate sono tutte limitate, il resto può essere molto piccolo. Ad esempio se valuto il resto relativo alla funzione in con il polinomio centrato in le derivate sono della forma . Nell'intervallo le derivate sono tutte minore di e, quindi minori di 3. , quindi se prendo un polinomio di grado ho un'approssimazione di in tutto l'intervallo.

Derivata del polinomio di Taylor

Osservazione 10.2

Se ho il polinomio di Taylor di una funzione derivabile in arrestata all'ordine e ne calcoliamo la derivata, otteniamo il polinomio di Taylor della funzione arrestata all'ordine .


Infatti

la derivata è
semplificando ottengo
Questo è il polinomio di Taylor della funzione .


Se derivo il polinomio n volte trovo il polinomio di Taylor della derivata n-esima arrestato all'ordine 0.

 

Dimostrazione della valutazione del resto data da Peano

Bisogna dimostrare che

Ho una forma di indecisione

Ho varie possibilità per calcolare il limite.


Posso applicare il teorema di de l'Hospital n volte, oppure posso procedere per induzione.


Dimostro la formula per induzione su . Dimostro che è vera per e per tutte le possibili funzioni, la suppongo vera per e per tutte le possibili funzioni e la dimostro per . Occorre dimostrare che: Per :

spezzo la frazione
Il primo addendo è il limite del rapporto incrementale, quindi il limite tende a 0 per la definizione di derivata. Per la formula è vera.


Suppongo vera la formula per e la valuto per

Applichiamo il teorema di De l'Hospital:
La derivata del polinomio di Taylor arrestata all'ordine n è
Questo è il polinomio di Taylor per la funzione arrestata all'ordine .


Applico l'ipotesi di induzione alla funzione e ottengo che il limite tende a 0.


L'espressione è stata supposta vera per tutte le funzioni, e quindi anche per .

dimostrazione della valutazione del resto di Lagrange

Dobbiamo dimostrare che

è un punto compreso tra e

Dividendo per si ottiene

Consideriamo due funzioni ausiliarie:
Dobbiamo valutare il rapporto .


Osserviamo che , infatti e il polinomio di Taylor in hanno le stesse derivate sino all'ordine n, inoltre:

Infatti la derivata di un polinomio di grado n è 0. Per la funzione G si ha che , mentre la derivata -esima è .

Suppongo e valuto

(posso farlo perchè )


Allora per il teorema di Cauchy esiste compreso tra e per cui

con compreso tra e x


Ripeto il procedimento.

quindi ottengo
allora per il teorema di Cauchy esiste un numero compreso ra e per cui il rapporto scritto sopra vale
Siccome anche posso ripetere il procedimento.


Posso ripetere il procedimento fino al punto n-esimo, quando

allora esiste compreso tra e dove questa quantità è uguale al rapporto delle derivate, ma per quanto osservato prima:

così ho dimostrato la formula del resto di Lagrange. (ho potuto sostituire con perchè la derivata -esima di vale per ogni valore di x)

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