Teoremi sulle funzioni continue

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Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, <math>(X,d_1), \, (Y,d_2), \, (Z,d_3)</math>.
 
Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, <math>(X,d_1), \, (Y,d_2), \, (Z,d_3)</math>.
  
Sia <math>E \in X</math>, sia <math>f:E \to B \subseteq Y</math>, sia <math>g:Y \to Z</math>. Se prendo un punto <math>\bar x</math> in <math>E</math>, avrò <math>f(\bar x) \in B</math> e <math>f(g(\bar x)) \in B</math>. Chiamo <math>\bar y = f(\bar x)</math>.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.1|anchor=Teorema8_1}}
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Sia <math>E \in X</math>, sia <math>f:E \to B \subseteq Y</math>, sia <math>g:Y \to Z</math>. Se prendo un punto <math>\bar x</math> in <math>E</math>, avrò <math>f(\bar x) \in B</math> e <math>f(g(\bar x)) \in B</math>. Chiamo <math>\bar y = f(\bar x)</math>.{{InizioTeorema|title=|number=8.1|anchor=Teorema8_1}}
 
Se <math>f</math> è continua in <math>\bar x</math> e <math>g</math> è continua in <math>\bar y</math>, allora <math>g\circ f</math> è continua in <math>\bar x</math>.
 
Se <math>f</math> è continua in <math>\bar x</math> e <math>g</math> è continua in <math>\bar y</math>, allora <math>g\circ f</math> è continua in <math>\bar x</math>.
  
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==Teorema sulla continuità globale==
 
==Teorema sulla continuità globale==
La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.2|anchor=Teorema8_2}}
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<math>f:X_1 \to Y</math>, è continua in tutto <math>X_1</math> se e solo se per ogni aperto <math>A</math> contenuto in <math>Y</math> si ha che <math>f^{-1}(A)</math> è aperto in <math>X_1</math>.
 
<math>f:X_1 \to Y</math>, è continua in tutto <math>X_1</math> se e solo se per ogni aperto <math>A</math> contenuto in <math>Y</math> si ha che <math>f^{-1}(A)</math> è aperto in <math>X_1</math>.
 
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Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.3|anchor=Teorema8_3}}
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<math>f:X_1 \to Y</math> è continua in <math>X_1</math> se e solo se <math>f^{-1}(E)</math> è chiuso in <math>X_1</math> per ogni chiuso <math>E</math> entro <math>Y</math>.
 
<math>f:X_1 \to Y</math> è continua in <math>X_1</math> se e solo se <math>f^{-1}(E)</math> è chiuso in <math>X_1</math> per ogni chiuso <math>E</math> entro <math>Y</math>.
 
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==Esempi di funzioni continue==
 
==Esempi di funzioni continue==
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Le seguenti funzioni sono continue:
 
Le seguenti funzioni sono continue:
  
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==Funzione a valori vettoriali==
 
==Funzione a valori vettoriali==
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Data una funzione <math>f:E \to \mathbb R^k</math>, <math>E\subset X</math> (una funzione a valori vettoriali) allora <math>f(x)</math> si può scrivere mediante le sue componenti canoniche: <math>f(x)=(f_1(x), f_2(x),..., f_k(x))</math>.
 
Data una funzione <math>f:E \to \mathbb R^k</math>, <math>E\subset X</math> (una funzione a valori vettoriali) allora <math>f(x)</math> si può scrivere mediante le sue componenti canoniche: <math>f(x)=(f_1(x), f_2(x),..., f_k(x))</math>.
 
Se <math>x_0 \in E</math>, <math>f</math> è continua in <math>x_0</math> se e solo se <math>f_1:X \to \mathbb R, \, f_2:X \to \mathbb R,..., \, f_k:X \to \mathbb R</math> sono continue in <math>x_0</math>.
 
Se <math>x_0 \in E</math>, <math>f</math> è continua in <math>x_0</math> se e solo se <math>f_1:X \to \mathbb R, \, f_2:X \to \mathbb R,..., \, f_k:X \to \mathbb R</math> sono continue in <math>x_0</math>.
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==Relazione tra continuità e compattezza==
 
==Relazione tra continuità e compattezza==
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Sia <math>f:X_1 \to Y</math> continua in <math>X_1</math> e sia <math>X_1</math> compatto.
 
Sia <math>f:X_1 \to Y</math> continua in <math>X_1</math> e sia <math>X_1</math> compatto.
 
Allora l'immagine tramite <math>f</math> di <math>X_1</math>, che sta in <math>Y</math> è compatta.
 
Allora l'immagine tramite <math>f</math> di <math>X_1</math>, che sta in <math>Y</math> è compatta.
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Se <math>Y=\mathbb R</math>, allora l'immagine di un compatto è un compatto di <math>\mathbb R</math>, quindi <math>f(X_1)</math> è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale{{InizioTeorema|titolo= teorema di Weierstrass|number=8.6|anchor=Teorema8_6}}
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Se <math>Y=\mathbb R</math>, allora l'immagine di un compatto è un compatto di <math>\mathbb R</math>, quindi <math>f(X_1)</math> è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale{{InizioTeorema|title=teorema di Weierstrass|number=8.6|anchor=Teorema8_6}}
 
Sia <math>f:X_1 \to \mathbb R</math>, <math>f</math> continua in <math>X_1</math>, <math>X_1</math> compatto, allora <math>f</math> ammette massimo e minimo cioè esiste <math>x_0</math> tale che <math>f(x_0) \geq f(x)</math> per ogni <math>x \in X_1</math> ed esiste <math>x_1 \, t.c. f(x_1) \leq f(x), \, \forall x \in X_1</math>.
 
Sia <math>f:X_1 \to \mathbb R</math>, <math>f</math> continua in <math>X_1</math>, <math>X_1</math> compatto, allora <math>f</math> ammette massimo e minimo cioè esiste <math>x_0</math> tale che <math>f(x_0) \geq f(x)</math> per ogni <math>x \in X_1</math> ed esiste <math>x_1 \, t.c. f(x_1) \leq f(x), \, \forall x \in X_1</math>.
 
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Se l'insieme <math>X_1</math> non è compatto la funzione <math>f:X_1 \to Y</math> non ha necessariamente massimo e minimo.{{InizioEsempio|titolo=|number=8.3|anchor=Esempio8_3}}
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Se l'insieme <math>X_1</math> non è compatto la funzione <math>f:X_1 \to Y</math> non ha necessariamente massimo e minimo.{{InizioEsempio|title=|number=8.3|anchor=Esempio8_3}}
 
*Data la funzione <math>f:(0,1) \to \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=x</math> essa non ha né massimo né minimo.
 
*Data la funzione <math>f:(0,1) \to \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=x</math> essa non ha né massimo né minimo.
 
*La funzione <math>f:(0,1] \to  \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=1/x</math> ha minimo (<math>\min f=1</math>) ma non ha massimo.
 
*La funzione <math>f:(0,1] \to  \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=1/x</math> ha minimo (<math>\min f=1</math>) ma non ha massimo.
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==Continuità e connessione==
 
==Continuità e connessione==
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Sia <math>f:X_1 \to Y</math>. Sia <math>f</math> continua in <math>X_1</math> e <math>X_1</math> connesso.
 
Sia <math>f:X_1 \to Y</math>. Sia <math>f</math> continua in <math>X_1</math> e <math>X_1</math> connesso.
 
Allora <math>f(X_1)</math> è connesso.
 
Allora <math>f(X_1)</math> è connesso.
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Per il teorema dimostrato, in <math>\mathbb R</math> l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue
 
Per il teorema dimostrato, in <math>\mathbb R</math> l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue
  
{{InizioCorollario|titolo= teorema di Darboux|number=8.1|anchor=Corollario8_1}}
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{{InizioCorollario|title=teorema di Darboux|number=8.1|anchor=Corollario8_1}}
 
Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.
 
Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.
 
{{FineCorollario}}
 
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Versione attuale delle 14:21, 21 mag 2018

Composizione di funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, .

Sia , sia , sia . Se prendo un punto in , avrò e . Chiamo .
Teorema 8.1

Se è continua in e è continua in , allora è continua in .

Di conseguenza, se è continua in tutto e è continua in tutto , allora è continua in tutto .

 
Dimostrazione

Se è isolato non c'è niente da dimostrare. Siccome per ipotesi è continua in , fisso esiste un con segue che (Questa è la definizione di continuità di nel punto ).

Allora fissata , esiste un tale che , con segue che Allora i punti con tale che appartengono all'intorno di raggio e centro e le immagini corrispondenti appartengono quindi all'intorno di raggio e centro . Quindi la funzione è continua in perchè soddisfa la definizione.

 

Teorema sulla continuità globale[modifica | modifica wikitesto]

La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.
Teorema 8.2

, è continua in tutto se e solo se per ogni aperto contenuto in si ha che è aperto in .

 


Dimostrazione

: Consideriamo un aperto entro . Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.

Considero . Se , allora è aperto. Altrimenti sia . Dimostriamo che esiste un intorno di appartenente a . Poichè è aperto, esiste un tale che è tutto contenuto in . La funzione è continua in , quindi è continua anche in , allora esiste un intorno tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine nell'intorno . Infatti, se prendo i punti tali che la distanza è minore di , per la definizione di continuità segue che , quindi . Questo significa che se , tutta la sfera . Quindi è aperto.

: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto di è aperta, allora è continua in ogni punto .

Prendo i punti e .

La sfera è un aperto che contiene . Allora per ipotesi la controimmagine della sfera è un aperto che contiene . è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto , quindi ho dimostrato la tesi.

 
Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.
Teorema 8.3

è continua in se e solo se è chiuso in per ogni chiuso entro .

 
Dimostrazione

Sia continua, allora dimostrare che è chiuso equivale a mostrare che il suo complementare è aperto. Ma , e poichè è continua ed aperto, segue che è aperto per la proposizione precedente, e quindi è chiuso. Si ragiona analogamente per mostrare l'implicazione inversa.

 

Esempi di funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 8.1

Le seguenti funzioni sono continue:

  1. la funzione identità ,
  2. le funzioni costanti,
  3. la somma di due funzioni continue, quindi i polinomi, che sono somme di funzioni continue,
  4. il rapporto di due polinomi, nei punti in cui il denominatore non si annulla,
  5. le funzioni , , dove è definita,
  6. le funzioni iperboliche,
  7. le funzioni elementari ,
  8. la composizione di funzioni continue.
 

Funzione a valori vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.4

Data una funzione , (una funzione a valori vettoriali) allora si può scrivere mediante le sue componenti canoniche: . Se , è continua in se e solo se sono continue in .

 

Relazione tra continuità e compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.5

Sia continua in e sia compatto. Allora l'immagine tramite di , che sta in è compatta.

 
(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante continua è compatta.)
Dimostrazione

Sia , con aperti una copertura di . Siccome gli sono aperti, allora le controimmagini degli costituiscono una copertura di . Per la compattezza di , da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di , sia essa . Allora

è coperto da , quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.

 
Se , allora l'immagine di un compatto è un compatto di , quindi è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale
Teorema 8.6 (teorema di Weierstrass)

Sia , continua in , compatto, allora ammette massimo e minimo cioè esiste tale che per ogni ed esiste .

 
Se l'insieme non è compatto la funzione non ha necessariamente massimo e minimo.
Esempio 8.3
  • Data la funzione tale che essa non ha né massimo né minimo.
  • La funzione tale che ha minimo () ma non ha massimo.
  • La funzione tale che ha e , ma non esistono punti in cui la funzione assume questi valori.
 

Continuità e connessione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.7

Sia . Sia continua in e connesso. Allora è connesso. (In , questo teorema significa che l'immagine tramite una funzione continua di un intervallo è un intervallo).

 
Dimostrazione

Per assurdo non sia connesso. Mostriamo allora che è connesso, contro l'ipotesi.

Per l'ipotesi assurda, non è connesso allora , con e e cioè gli insiemi sono separati. Allora considero e , che non sono vuoti. Siccome , l'unione delle controimmagini è uguale a , quindi . Dobbiamo far vedere che e sono separati, in questo modo dimostriamo che non è connesso.

è il piu' piccolo chiuso che contiene e è il piu' piccolo chiuso che contiene , quindi l'intersezione è contenuta in .

Poichè e hanno intersezione vuota per ipotesi, allora . Inoltre

dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo continua, è chiuso.
Si ha quindi , allora
quindi . Si dimostra analogamente che , quindi sono separati. Allora non è connesso e questo è assurdo!

 

Per il teorema dimostrato, in l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue

Corollario 8.1 (teorema di Darboux)

Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.

 
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