Teoremi sulle funzioni continue

(Pywikibot v.2)
 
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Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, <math>(X,d_1), \, (Y,d_2), \, (Z,d_3)</math>.
 
Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, <math>(X,d_1), \, (Y,d_2), \, (Z,d_3)</math>.
  
 
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Sia <math>E \in X</math>, sia <math>f:E \to B \subseteq Y</math>, sia <math>g:Y \to Z</math>. Se prendo un punto <math>\bar x</math> in <math>E</math>, avrò <math>f(\bar x) \in B</math> e <math>f(g(\bar x)) \in B</math>. Chiamo <math>\bar y = f(\bar x)</math>.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.1|anchor=Teorema8_1}}
Sia <math>E \in X</math>, sia <math>f:E \to B \subseteq Y</math>, sia <math>g:Y \to Z</math>. Se prendo un punto <math>\bar x</math> in <math>E</math>, avrò <math>f(\bar x) \in B</math> e <math>f(g(\bar x)) \in B</math>. Chiamo <math>\bar y = f(\bar x)</math>.
 
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo=|number=8.1|anchor=Teorema8_1}}
 
 
Se <math>f</math> è continua in <math>\bar x</math> e <math>g</math> è continua in <math>\bar y</math>, allora <math>g\circ f</math> è continua in <math>\bar x</math>.
 
Se <math>f</math> è continua in <math>\bar x</math> e <math>g</math> è continua in <math>\bar y</math>, allora <math>g\circ f</math> è continua in <math>\bar x</math>.
 
  
 
Di conseguenza, se <math>f</math> è continua in tutto <math>E</math> e <math>g</math> è continua in tutto <math>B</math>, allora <math>g \circ f</math> è continua in tutto <math>E</math>.
 
Di conseguenza, se <math>f</math> è continua in tutto <math>E</math> e <math>g</math> è continua in tutto <math>B</math>, allora <math>g \circ f</math> è continua in tutto <math>E</math>.
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(Questa è la definizione di continuità di <math>g</math> nel punto <math>\bar y</math>).
 
(Questa è la definizione di continuità di <math>g</math> nel punto <math>\bar y</math>).
  
 
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Allora fissata <math>\delta_1</math>, esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>\forall x \in E</math>, con <math>d_1(x, \bar x)<\delta</math> segue che <math>d_2(f(x), \bar y)<\delta_1</math>Allora i punti <math>f(x)</math> con <math>x</math> tale che <math>d(x,\bar x)<\delta</math> appartengono all'intorno di raggio <math>\delta_1</math> e centro <math>\bar y</math> e le immagini corrispondenti  <math>g \circ f(x)</math> appartengono quindi all'intorno di raggio <math>\varepsilon</math> e centro <math>g(\bar y)</math>. Quindi la funzione <math>g \circ f</math> è continua in <math>\bar x</math> perchè soddisfa la definizione.
Allora fissata <math>\delta_1</math>, esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>\forall x \in E</math>, con <math>d_1(x, \bar x)<\delta</math> segue che <math>d_2(f(x), \bar y)<\delta_1</math>
 
Allora i punti <math>f(x)</math> con <math>x</math> tale che <math>d(x,\bar x)<\delta</math> appartengono all'intorno di raggio <math>\delta_1</math> e centro <math>\bar y</math> e le immagini corrispondenti  <math>g \circ f(x)</math> appartengono quindi all'intorno di raggio <math>\varepsilon</math> e centro <math>g(\bar y)</math>. Quindi la funzione <math>g \circ f</math> è continua in <math>\bar x</math> perchè soddisfa la definizione.
 
 
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==Teorema sulla continuità globale==
 
==Teorema sulla continuità globale==
La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.
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La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.2|anchor=Teorema8_2}}
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo=|number=8.2|anchor=Teorema8_2}}
 
 
<math>f:X_1 \to Y</math>, è continua in tutto <math>X_1</math> se e solo se per ogni aperto <math>A</math> contenuto in <math>Y</math> si ha che <math>f^{-1}(A)</math> è aperto in <math>X_1</math>.
 
<math>f:X_1 \to Y</math>, è continua in tutto <math>X_1</math> se e solo se per ogni aperto <math>A</math> contenuto in <math>Y</math> si ha che <math>f^{-1}(A)</math> è aperto in <math>X_1</math>.
 
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<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: Consideriamo un aperto <math>A</math> entro <math>Y</math>. Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: Consideriamo un aperto <math>A</math> entro <math>Y</math>. Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.
 
 
  
 
Considero <math>f^{-1}(A)</math>. Se <math>f^{-1}(A)=\emptyset</math>, allora è aperto. Altrimenti sia <math>\bar x \in f^{-1}(A)</math>. '''Dimostriamo che esiste un intorno di <math>\bar x</math> appartenente a <math>f^{-1}(A)</math>'''. Poichè <math>A</math> è aperto, esiste un <math>\varepsilon</math> tale che <math>B(f(\bar x), \varepsilon)</math> è tutto contenuto in <math>A</math>. La funzione <math>f</math> è continua in <math>X_1</math>, quindi è continua anche in <math>\bar x</math>, allora esiste un intorno <math>B_1(\bar x, \delta)</math> tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine  nell'intorno <math>B(f(\bar x),\varepsilon)</math>. Infatti, se prendo i punti <math>x, \bar x</math> tali che la distanza è minore di <math>\delta</math>, per la definizione di continuità segue che <math>d_2(f(x), f(\bar x)) < \varepsilon</math>, quindi <math>B(f(\bar x),\varepsilon)\subseteq A</math>. Questo significa che se <math>\bar x \in f^{-1}(A)</math>, tutta la sfera <math>B(\bar x, \delta) \subseteq f^{-1}(A)</math>. Quindi <math>f^{-1}(A)</math> è aperto.
 
Considero <math>f^{-1}(A)</math>. Se <math>f^{-1}(A)=\emptyset</math>, allora è aperto. Altrimenti sia <math>\bar x \in f^{-1}(A)</math>. '''Dimostriamo che esiste un intorno di <math>\bar x</math> appartenente a <math>f^{-1}(A)</math>'''. Poichè <math>A</math> è aperto, esiste un <math>\varepsilon</math> tale che <math>B(f(\bar x), \varepsilon)</math> è tutto contenuto in <math>A</math>. La funzione <math>f</math> è continua in <math>X_1</math>, quindi è continua anche in <math>\bar x</math>, allora esiste un intorno <math>B_1(\bar x, \delta)</math> tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine  nell'intorno <math>B(f(\bar x),\varepsilon)</math>. Infatti, se prendo i punti <math>x, \bar x</math> tali che la distanza è minore di <math>\delta</math>, per la definizione di continuità segue che <math>d_2(f(x), f(\bar x)) < \varepsilon</math>, quindi <math>B(f(\bar x),\varepsilon)\subseteq A</math>. Questo significa che se <math>\bar x \in f^{-1}(A)</math>, tutta la sfera <math>B(\bar x, \delta) \subseteq f^{-1}(A)</math>. Quindi <math>f^{-1}(A)</math> è aperto.
  
 
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<math>2 \longrightarrow 1</math>: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto <math>A</math> di <math>Y</math> è aperta, allora <math>f</math> è continua in ogni punto <math>\bar x \in X_1</math>.
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto <math>A</math> di <math>Y</math> è aperta, allora <math>f</math> è continua in ogni punto <math>\bar x \in X_1</math>.
 
 
 
  
 
Prendo i punti <math>\bar x</math> e <math>\bar y = f(\bar x)</math>.
 
Prendo i punti <math>\bar x</math> e <math>\bar y = f(\bar x)</math>.
 
  
 
La sfera <math>B(f(\bar x), \varepsilon)</math> è un aperto che contiene <math>f(\bar x)</math>. Allora per ipotesi la controimmagine della sfera <math>f^{-1}(B)</math> è un aperto che contiene <math>\bar x</math>.  <math>\bar x</math> è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera <math>B_1(\bar x, \delta)</math> tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto <math>\bar x</math>, quindi ho dimostrato la tesi.
 
La sfera <math>B(f(\bar x), \varepsilon)</math> è un aperto che contiene <math>f(\bar x)</math>. Allora per ipotesi la controimmagine della sfera <math>f^{-1}(B)</math> è un aperto che contiene <math>\bar x</math>.  <math>\bar x</math> è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera <math>B_1(\bar x, \delta)</math> tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto <math>\bar x</math>, quindi ho dimostrato la tesi.
 
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Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.{{InizioTeorema|titolo=|number=8.3|anchor=Teorema8_3}}
Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.
 
 
 
 
 
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<math>f:X_1 \to Y</math> è continua in <math>X_1</math> se e solo se <math>f^{-1}(E)</math> è chiuso in <math>X_1</math> per ogni chiuso <math>E</math> entro <math>Y</math>.
 
<math>f:X_1 \to Y</math> è continua in <math>X_1</math> se e solo se <math>f^{-1}(E)</math> è chiuso in <math>X_1</math> per ogni chiuso <math>E</math> entro <math>Y</math>.
 
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(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante <math>f</math> continua è compatta.)
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(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante <math>f</math> continua è compatta.){{InizioDimostrazione}}
 
 
 
 
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Sia <math>A_I= \bigcup_{i \in I} A_i</math>, con <math>A_i</math> aperti una copertura di <math>f(X_1)</math>. Siccome gli <math>A_i</math> sono aperti, allora le controimmagini degli <math>A_i</math> costituiscono una copertura di <math>X_1</math>.
 
Sia <math>A_I= \bigcup_{i \in I} A_i</math>, con <math>A_i</math> aperti una copertura di <math>f(X_1)</math>. Siccome gli <math>A_i</math> sono aperti, allora le controimmagini degli <math>A_i</math> costituiscono una copertura di <math>X_1</math>.
 
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Per la compattezza di <math>X_1</math>, da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di <math>X_1</math>, sia essa <math>\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(A_i)</math>. Allora<math display="block">f(X_1) \subseteq f(f^{-1}(A_1) \cup f^{-1}(A_2) \cup ... \cup f^{-1}(A_n))</math><math display="block">\subseteq f(f^{-1}(A_1)) \cup f(f^{-1}(A_2)) \cup ... \cup f(f^{-1}(A_n)) = A_1 \cup ... \cup A_n</math><math>f(X_1)</math> è coperto da <math>A_1, ... , A_n</math>, quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.
 
 
Per la compattezza di <math>X_1</math>, da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di <math>X_1</math>, sia essa <math>\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(A_i)</math>. Allora
 
<math display="block">f(X_1) \subseteq f(f^{-1}(A_1) \cup f^{-1}(A_2) \cup ... \cup f^{-1}(A_n))</math><math display="block">\subseteq f(f^{-1}(A_1)) \cup f(f^{-1}(A_2)) \cup ... \cup f(f^{-1}(A_n)) = A_1 \cup ... \cup A_n</math>
 
 
 
<math>f(X_1)</math> è coperto da <math>A_1, ... , A_n</math>, quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.
 
 
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Se <math>Y=\mathbb R</math>, allora l'immagine di un compatto è un compatto di <math>\mathbb R</math>, quindi <math>f(X_1)</math> è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale{{InizioTeorema|titolo= teorema di Weierstrass|number=8.6|anchor=Teorema8_6}}
Se <math>Y=\mathbb R</math>, allora l'immagine di un compatto è un compatto di <math>\mathbb R</math>, quindi <math>f(X_1)</math> è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale
 
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo= teorema di Weierstrass|number=8.6|anchor=Teorema8_6}}
 
 
Sia <math>f:X_1 \to \mathbb R</math>, <math>f</math> continua in <math>X_1</math>, <math>X_1</math> compatto, allora <math>f</math> ammette massimo e minimo cioè esiste <math>x_0</math> tale che <math>f(x_0) \geq f(x)</math> per ogni <math>x \in X_1</math> ed esiste <math>x_1 \, t.c. f(x_1) \leq f(x), \, \forall x \in X_1</math>.
 
Sia <math>f:X_1 \to \mathbb R</math>, <math>f</math> continua in <math>X_1</math>, <math>X_1</math> compatto, allora <math>f</math> ammette massimo e minimo cioè esiste <math>x_0</math> tale che <math>f(x_0) \geq f(x)</math> per ogni <math>x \in X_1</math> ed esiste <math>x_1 \, t.c. f(x_1) \leq f(x), \, \forall x \in X_1</math>.
 
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Se l'insieme <math>X_1</math> non è compatto la funzione <math>f:X_1 \to Y</math> non ha necessariamente massimo e minimo.{{InizioEsempio|titolo=|number=8.3|anchor=Esempio8_3}}
Se l'insieme <math>X_1</math> non è compatto la funzione <math>f:X_1 \to Y</math> non ha necessariamente massimo e minimo.
 
 
 
 
 
{{InizioEsempio|titolo=|number=8.3|anchor=Esempio8_3}}
 
 
*Data la funzione <math>f:(0,1) \to \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=x</math> essa non ha né massimo né minimo.
 
*Data la funzione <math>f:(0,1) \to \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=x</math> essa non ha né massimo né minimo.
 
*La funzione <math>f:(0,1] \to  \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=1/x</math> ha minimo (<math>\min f=1</math>) ma non ha massimo.
 
*La funzione <math>f:(0,1] \to  \mathbb R</math> tale che <math>f(x)=1/x</math> ha minimo (<math>\min f=1</math>) ma non ha massimo.
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{{InizioDimostrazione}}
 
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Per assurdo <math>f(X_1)</math> non sia connesso. '''Mostriamo allora che <math>X_1</math> è connesso''', contro l'ipotesi.
 
Per assurdo <math>f(X_1)</math> non sia connesso. '''Mostriamo allora che <math>X_1</math> è connesso''', contro l'ipotesi.
 
  
 
Per l'ipotesi assurda, <math>f(X_1)</math> non è connesso allora <math>f(X_1)=A \cup B</math>, con <math>A \neq  \emptyset, B \neq \emptyset</math> e <math>\overline{A} \cap B=\emptyset</math> e <math>\overline{B} \cap A=\emptyset</math> cioè gli insiemi sono separati.
 
Per l'ipotesi assurda, <math>f(X_1)</math> non è connesso allora <math>f(X_1)=A \cup B</math>, con <math>A \neq  \emptyset, B \neq \emptyset</math> e <math>\overline{A} \cap B=\emptyset</math> e <math>\overline{B} \cap A=\emptyset</math> cioè gli insiemi sono separati.
 
Allora considero <math>f^{-1}(A)</math> e <math>f^{-1}(B)</math>, che non sono vuoti. Siccome <math>A \cup B=f(X_1)</math>, l'unione delle controimmagini è uguale a <math>X_1</math>, quindi <math>X_1= f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)</math>. Dobbiamo far vedere che <math>f^{-1}(A)</math> e <math>f^{-1}(B)</math> sono separati, in questo modo dimostriamo che <math>X_1</math> non è connesso.
 
Allora considero <math>f^{-1}(A)</math> e <math>f^{-1}(B)</math>, che non sono vuoti. Siccome <math>A \cup B=f(X_1)</math>, l'unione delle controimmagini è uguale a <math>X_1</math>, quindi <math>X_1= f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)</math>. Dobbiamo far vedere che <math>f^{-1}(A)</math> e <math>f^{-1}(B)</math> sono separati, in questo modo dimostriamo che <math>X_1</math> non è connesso.
 
  
 
<math>\overline{f^{-1}(A)}</math> è il piu' piccolo chiuso che contiene <math>f^{-1}(A)</math> e <math>\overline{f^{-1}(B)}</math> è il piu' piccolo chiuso che contiene <math>f^{-1}(B)</math>, quindi l'intersezione <math>f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math> è contenuta in <math>\overline{f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)}</math>.
 
<math>\overline{f^{-1}(A)}</math> è il piu' piccolo chiuso che contiene <math>f^{-1}(A)</math> e <math>\overline{f^{-1}(B)}</math> è il piu' piccolo chiuso che contiene <math>f^{-1}(B)</math>, quindi l'intersezione <math>f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math> è contenuta in <math>\overline{f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)}</math>.
  
 
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Poichè <math>\overline{A}</math> e <math>B</math> hanno intersezione vuota per ipotesi, allora <math>f^{-1}(\overline{A}) \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>. Inoltre<math display="block">\overline{f^{-1}(A)} \subseteq \overline{f^{-1}(\overline{A})} = f^{-1}(\overline{A})</math>dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo <math>f</math> continua, <math>f^{-1}(\overline{A})</math> è chiuso.<br>
Poichè <math>\overline{A}</math> e <math>B</math> hanno intersezione vuota per ipotesi, allora <math>f^{-1}(\overline{A}) \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>. Inoltre
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Si ha quindi <math>\overline{f^{-1}(A)} \subseteq f^{-1}(\overline{A})</math>, allora<math display="block">\overline{f^{-1}(A)} \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\overline{A}) \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>quindi <math>\overline{f^{-1}(A)} \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>. Si dimostra analogamente che <math>f^{-1}(A) \cap \overline{f^{-1}(B)} = \emptyset</math>, quindi <math>f^{-1}(A), f^{-1}(B)</math> sono separati.
<math display="block">\overline{f^{-1}(A)} \subseteq \overline{f^{-1}(\overline{A})} = f^{-1}(\overline{A})</math>
 
dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo <math>f</math> continua, <math>f^{-1}(\overline{A})</math> è chiuso.
 
 
 
 
 
Si ha quindi <math>\overline{f^{-1}(A)} \subseteq f^{-1}(\overline{A})</math>, allora
 
<math display="block">\overline{f^{-1}(A)} \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\overline{A}) \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>
 
quindi <math>\overline{f^{-1}(A)} \cap f^{-1}(B) = \emptyset</math>. Si dimostra analogamente che <math>f^{-1}(A) \cap \overline{f^{-1}(B)} = \emptyset</math>, quindi <math>f^{-1}(A), f^{-1}(B)</math> sono separati.
 
 
Allora <math>X_1</math> non è connesso e questo è assurdo!
 
Allora <math>X_1</math> non è connesso e questo è assurdo!
 
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Per il teorema dimostrato, in <math>\mathbb R</math> l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue
 
Per il teorema dimostrato, in <math>\mathbb R</math> l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue

Versione delle 22:31, 6 set 2017

Composizione di funzioni continue

Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, .

Sia , sia , sia . Se prendo un punto in , avrò e . Chiamo .
Teorema 8.1

Se è continua in e è continua in , allora è continua in .

Di conseguenza, se è continua in tutto e è continua in tutto , allora è continua in tutto .

 
Dimostrazione

Se è isolato non c'è niente da dimostrare. Siccome per ipotesi è continua in , fisso esiste un con segue che (Questa è la definizione di continuità di nel punto ).

Allora fissata , esiste un tale che , con segue che Allora i punti con tale che appartengono all'intorno di raggio e centro e le immagini corrispondenti appartengono quindi all'intorno di raggio e centro . Quindi la funzione è continua in perchè soddisfa la definizione.

 

Teorema sulla continuità globale

La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.
Teorema 8.2

, è continua in tutto se e solo se per ogni aperto contenuto in si ha che è aperto in .

 


Dimostrazione

: Consideriamo un aperto entro . Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.

Considero . Se , allora è aperto. Altrimenti sia . Dimostriamo che esiste un intorno di appartenente a . Poichè è aperto, esiste un tale che è tutto contenuto in . La funzione è continua in , quindi è continua anche in , allora esiste un intorno tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine nell'intorno . Infatti, se prendo i punti tali che la distanza è minore di , per la definizione di continuità segue che , quindi . Questo significa che se , tutta la sfera . Quindi è aperto.

: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto di è aperta, allora è continua in ogni punto .

Prendo i punti e .

La sfera è un aperto che contiene . Allora per ipotesi la controimmagine della sfera è un aperto che contiene . è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto , quindi ho dimostrato la tesi.

 
Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.
Teorema 8.3

è continua in se e solo se è chiuso in per ogni chiuso entro .

 
Dimostrazione

Sia continua, allora dimostrare che è chiuso equivale a mostrare che il suo complementare è aperto. Ma , e poichè è continua ed aperto, segue che è aperto per la proposizione precedente, e quindi è chiuso. Si ragiona analogamente per mostrare l'implicazione inversa.

 

Esempi di funzioni continue

Osservazione 8.1

Le seguenti funzioni sono continue:

  1. la funzione identità ,
  2. le funzioni costanti,
  3. la somma di due funzioni continue, quindi i polinomi, che sono somme di funzioni continue,
  4. il rapporto di due polinomi, nei punti in cui il denominatore non si annulla,
  5. le funzioni , , dove è definita,
  6. le funzioni iperboliche,
  7. le funzioni elementari ,
  8. la composizione di funzioni continue.
 

Funzione a valori vettoriali

Teorema 8.4

Data una funzione , (una funzione a valori vettoriali) allora si può scrivere mediante le sue componenti canoniche: . Se , è continua in se e solo se sono continue in .

 

Relazione tra continuità e compattezza

Teorema 8.5

Sia continua in e sia compatto. Allora l'immagine tramite di , che sta in è compatta.

 
(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante continua è compatta.)
Dimostrazione

Sia , con aperti una copertura di . Siccome gli sono aperti, allora le controimmagini degli costituiscono una copertura di . Per la compattezza di , da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di , sia essa . Allora

è coperto da , quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.

 
Se , allora l'immagine di un compatto è un compatto di , quindi è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale
Teorema 8.6

Sia , continua in , compatto, allora ammette massimo e minimo cioè esiste tale che per ogni ed esiste .

 
Se l'insieme non è compatto la funzione non ha necessariamente massimo e minimo.
Esempio 8.3
  • Data la funzione tale che essa non ha né massimo né minimo.
  • La funzione tale che ha minimo () ma non ha massimo.
  • La funzione tale che ha e , ma non esistono punti in cui la funzione assume questi valori.
 

Continuità e connessione

Teorema 8.7

Sia . Sia continua in e connesso. Allora è connesso. (In , questo teorema significa che l'immagine tramite una funzione continua di un intervallo è un intervallo).

 
Dimostrazione

Per assurdo non sia connesso. Mostriamo allora che è connesso, contro l'ipotesi.

Per l'ipotesi assurda, non è connesso allora , con e e cioè gli insiemi sono separati. Allora considero e , che non sono vuoti. Siccome , l'unione delle controimmagini è uguale a , quindi . Dobbiamo far vedere che e sono separati, in questo modo dimostriamo che non è connesso.

è il piu' piccolo chiuso che contiene e è il piu' piccolo chiuso che contiene , quindi l'intersezione è contenuta in .

Poichè e hanno intersezione vuota per ipotesi, allora . Inoltre

dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo continua, è chiuso.
Si ha quindi , allora
quindi . Si dimostra analogamente che , quindi sono separati. Allora non è connesso e questo è assurdo!

 

Per il teorema dimostrato, in l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue

Corollario 8.1

Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.

 
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