Definizioni

Funzione continua

La continuità è una proprietà qualitativa delle funzioni.


Definizione 8.1

Siano e due spazi metrici. Sia e . Sia contenuto in . Si dice che la funzione è continua nel punto se:

 



Ci sono alcune differenze rispetto alla definizione di limite. Nella definizione di continuità non viene chiesto che sia punto di accumulazione, ma si richiede che la funzione sia definita in . Infatti nella definizione di continuità al posto del limite si ha quindi è necessariamente definita in .


Questa definizione mette in relazione il limite con il valore della funzione nel punto .


Se non è di accumulazione per ma è punto isolato, allora esiste un intorno in cui non c'è nessun punto di oltre a e quindi la funzione in un punto isolato è sempre continua, perchè posso scegliere un tale che l'unico punto in sia .

Se non è isolato, allora la continuità in è equivalente alla condizione: .


Definizione 8.2

La funzione si dice continua in se è continua in tutti i punti di .

 


Esempio 8.1

Tutte le funzioni elementari (, , , , , ) sono continue nei punti in cui sono definite. Ad esempio è continua in tutti i punti tranne nei punti con .

 

Funzione discontinua in un punto

Esempio 8.2
  • La funzione

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & se\, x \ge0 \\-1& se\, x<0\end{array}\right} è definita su tutto , ma , infatti: .

  • La funzione

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{array}'): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & se\, x\, è\, razionale \\ 0 & se\, x\, è\, irrazionale\end{array}\right} è discontinua in ogni punto.

  • Data una funzione continua, si possono creare funzioni discontinue cambiando il valore della funzione in un punto.

Ad esempio la funzione Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \sin x & se\, x \neq 0 \\ 37 & se\, x=0\end{array}\}} è discontinua in 0.

  • La funzione

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin x}{x} & se\, x \neq 0 \\ 2 & se\, x=0 \end{array}\right} è discontinua in

Invece la funzione Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin x}{x} & se\, x \neq 0 \\ 1 & se\, x=0\end{array}\right} è continua, infatti

 


Vedremo che le funzioni composte delle funzioni elementari sono a loro volta continue. Ad esempio è continua, perchè e sono continue nei punti in cui sono definite.

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