Regole di derivazione

Derivata di somma e prodotto

Teorema 9.1

Siano , funzioni da a valori in e derivabili entrambe nello stesso punto . Allora

  1. , anche è derivabile in e si ha (derivata di una costante)
  2. anche è derivabile in e si ha
  3. anche è derivabile in e si ha
    (la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate!)
  4. Se anche è derivabile in e si ha
 
Dimostrazione

Per dimostrare queste formule si applica la definizione e si usa il fatto che una funzione derivabile in un punto è anche continua nello stesso punto.


Dimostriamo in particolare la formula della derivata del prodotto.

Aggiungo e tolgo .
Spezzo in due la frazione.
raccolgo nella seconda frazione che diventa:
nella prima frazione raccolgo e la frazione diventa:
Il limite della somma è la somma dei limiti.
è continua in e tende a 0.

 


La regola sulle derivate del quoziente permette di derivare direttamente la tangente, che è il rapporto tra seno e coseno.

Derivazione della funzione composta

Sia e . Allora si può costruire la funzione , per definizione.


Teorema 9.2

Sia derivabile in . Sia . Sia la sua derivata. Sia derivabile in . Sia la derivata. Tesi: Allora è derivabile in e vale la seguente formula

 
Dimostrazione

Uso ripetutamente la definizione di derivata. Scrivo il limite del rapporto incrementale di

Aggiungo e tolgo nell'argomento di .
Chiamo .


Sfrutto il fatto che è derivabile in e scrivo il suo rapporto incrementale (l'incremento è ).

Se è derivabile nel punto , allora è anche continua, quindi

Poichè è derivabile e quindi continua nel punto , tende a quando tende a 0.


è la differenza tra il rapporto incrementale e la derivata. Sostituisco con la sua espressione.


quando Confrontando con l'espressione sopra ottengo:

Sostituisco a k la sua espressione
dividiamo portando dentro , e facendo il limite per Per quanto detto si ottiene:

 

Derivata della funzione inversa

Idea intuitiva: Se il grafico di una funzione invertibile ammette tangente, anche la funzione inversa ammette tangente in quel punto. Scambiando gli assi si scambiano tangente e cotangente. Quindi la derivata della funzione inversa è l'inversa della derivata della funzione.


Teorema 9.3

Sia da un intervallo aperto a un intervallo . Se è invertibile e è derivabile in con , allora è derivabile in e si ha .

 


Una volta dimostrata la derivabilità della funzione inversa, la formula si ottiene anche dal teorema di derivazione delle funzioni composte.

Tabella sulle derivate

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{array}'): {\displaystyle \begin{array}{|c|c|l|}\hline f(x) & f^{\prime}(x) & \mbox{commenti} \\ \hline x^{\alpha} & \alpha*x^{\alpha-1} & \mbox{se $\alpha=0$ $f$ è costante e $f'= 0$} \\ a^x & a^x*\log_e a & \\ e^x & e^x & \mbox{caso particolare della formula precedente} \\ \log_a x & 1/x*\log_a e & \\ \log x & 1/x & \mbox{caso particolare della formula precedente} \\ \sin x & \cos x & \\ \cos x & -\sin x & \\ \tan x & 1+\tan^2 (x)=\frac1{\cos^2 x} & \mbox{si ricava dalla formula della derivata del quoziente} \\ \sinh x & \cosh x & \\ \cosh x & \sinh x & \\ \arctan x & \frac1{1+x^2} & \mbox{si ricava dalla formula della derivata dell'inversa} \\ \arcsin x & \frac1{\sqrt{1-x^2}} & \\ \arccos x & -\frac1{\sqrt{1-x^2}} & \\\hline\end{array}}


Ricavo la derivata dell'arcotangente:

Siccome si ha , quingi ottengo che


Esempio 9.4

Sia

Applico piu' volte la formula di derivazione della funzione composta. Prima derivo il logaritmo, poi ottengo ancora una funzione composta e derivo la radice. quella che ottengo è ancora una funzione composta e derivo l'arcotangente.

 
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