Proprietà della derivata

Ci sono alcune proprietà che caratterizzano le funzioni che si possono ottenere come derivata di un'altra funzione. Ad esempio, la funzione derivata di una certa funzione, derivabile in un intervallo, può avere solo discontinuità di seconda specie. Inoltre, anche se una funzione è discontinua, la sua derivata assume sempre tutti i valori intermedi nell'intervallo in cui è derivabile.

Proprietà 1

Osservazione 9.6

Sia tale che

  1. è continua in ;
  2. è derivabile in ;
  3. esiste finito .

Allora esiste e si ha .

 
Dimostrazione

Scrivo il rapporto incrementale destro nel punto .

soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo e quindi anche in .


Allora esiste un punto compreso tra e tale che

Quando tende a 0, tende ad , perchè si trova tra e , quindi tende a , per , concludo che

 


Osservazione 9.7

Se è derivabile in e entro è di discontinuità per , allora la discontinuità è di seconda specie.


Infatti non possono esserci discontinuità di prima o terza specie perché se è un punto di derivabilità di per l'osservazione precedente deve valere la relazione:

 


Esempio 9.6

Considero la funzione

Questa funzione è sempre derivabile. La sua derivata ha una discontinuità di seconda specie infatti per , la derivata è

Scrivo il rapporto incrementale per trovare la derivata in 0:

La funzione è derivabilein ogni punto, ma ha un punto di discontinuità di seconda specie in , infatti non ha né limite destro né sinistro perchè oscilla in un intorno di .

 

Proprietà 2

Osservazione 9.8

Sia derivabile in tutti i punti di e siano punti interni all'intervallo . Allora nell'intervallo , assume tutti i valori tra e .

 
Dimostrazione

Supponiamo dapprima e . Mostriamo che esiste entro con .


Essendo derivabile in , la funzione è anche derivabile e quindi continua in contenuto in .


Allora nell'intervallo ha massimo e minimo per il teorema di Weierstrass, in particolare esiste un punto tale che è il massimo di .


non può coincidere con , perchè quindi anche . Allora se , e questo implica . Di conseguenza non è massimo, perchè assume valori maggiori di .


Con un argomento analogo si mostra che il massimo non può coincidere con . In questo caso , quindi se , e questo implica , , quindi non è massimo.


Segue che , è derivabile e è un punto di massimo allora per il teorema di Fermat.


Mostriamo ora che assume tutti i valori intermedi: Sia e considero con compreso tra e . è derivabile, allora per il punto precedente esiste un punto in cui , cioè . Da qui segue la tesi che , per ogni .

 


La proprietà di Darboux è soddisfatta anche se la funzione è discontinua.

Grafici di funzioni

Sfruttiamo il teorema di Lagrange per studiare il comportamento dei grafici di funzione.

  • Se la derivata è maggiore di 0 e piccola, significa che la funzione cresce poco, se è grande la funzione cresce molto.
  • Se la derivata in valore assoluto è piccola ma negativa la funzione decresce poco, se la derivata è grande in modulo e negativa la funzione decresce molto.
  • Se la derivata è uguale a 0 sappiamo che c'è un massimo o un minimo relativo.
  • Se la derivata è uguale a 0 in tutti i punti della funzione, allora la funzione è costante.


Teorema 9.8

Sia derivabile in e sia l'intervallo chiuso contenuto in . Condizione necessaria e sufficiente affinchè sia crescente in è che . Analogamente, c .n.s. affinchè sia decrescente in è che .

 


Conseguenza: Se la derivata è uguale a 0, la fuznione è crescente e decrescente allo stesso tempo, quindi è costante.


Dimostrazione

Sia crescente in .


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : Prendo un punto e mostro che la derivata è positiva. Considero il rapporto incrementale e osservo che

  1. Se poichè la funzione è crescente, implica , quindi il numeratore e il denominatore del rapporto incrementale sono positivi, quindi .
  2. Se , numeratore e denominatore del rapporto incrementale sono negativi, quindi .

Segue che la derivata è positiva.


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 1} : Viceversa, se la funzione è crescente. Siano entro con . Mostriamo che . Per il teorema di Lagrange:

Con , ma in qualsiasi punto, quindi . Siccome , allora . Quindi la funzione è crescente.

 


Se la derivata è uguale a 0, dal teorema di Lagrange si ottiene: e la funzione è costante. Il viceversa è ovvio: Se la funzione è costante la derivata è uguale a 0.

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