Prime definizioni

Derivata di una funzione

Ci occuperemo del calcolo differenziale per funzioni definite in sottoinsiemi di a valori in .

Supponiamo di avere una funzione (può anche capitare che ). Prendo un punto . Se incremento di il punto , il punto sta ancora in . Calcolo l'incremento della funzione dal punto al punto . L'incremento della funzione è uguale alla differenza .


Definisco rapporto incrementale il rapporto tra l'incremento della variabile indipendente e l'incremento della variabile dipendente:

Questo rapporto rappresenta il coefficiente angolare della retta secante al grafico della funzione e passante per i punti e

Calcolo il limite del rapporto incrementale:

Se questo limite esiste finito allora si indica con , o , o o , o e si chiama derivata della funzione nel punto . Il limite può essere anche scritto come
. Basta porre

Calcolo della derivata di x^alpha

Prendo la funzione tale che .


Scrivo il limite del rapporto incrementale:

Raccolgo :
Si può applicare il limite notevole , quindi
Ho ricavato che

Calcolo della derivata di sin x

Sia tale che , e considero il rapporto incrementale:

Applico la formula di addizione
Raccolgo al numeratore:
Spezzo il limite in due addendi:
Osservo che
quindi il limite del rapporto incrementale è .

Relazione tra derivabilità e continuità

Esempio 9.1

Sia tale che . Questa funzione è continua ma nel punto la derivata non c'è.


Il limite del rapporto incrementale destro vale , il limite sinistro è , quindi non esiste il limite del rapporto incrementale. Affinchè ci sia la derivata il limite del rapporto incrementale destro e sinistro devono essere uguali. La funzione considerata ha un punto angoloso in .

 


Se una funzione è derivabile in un punto , allora è anche continua.


Osservazione 9.1

Se è derivabile in , allora è continua in . (non vale il viceversa, come mostra l'esempio precedente è continua ma non derivabile in )

 
Dimostrazione

Se è derivabile significa che

Quindi ottengo che
dove la quantità tende a 0 quando tende a 0.


Moltiplico ambo i membri per

Per , il secondo membro tende a 0.


Anche , da cui:

quindi per definizione la funzione è continua in

 

Tangente geometrica

Il rapporto incrementale ha un significato geometrico molto preciso, è la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla corda passante per i due punti con l'asse delle ascisse.


Facciamo tendere a 0, allora l'angolo cambia al variare di . Se la funzione è derivabile la tangente trigonometrica ha un valore limite, e di conseguenza anche l'angolo.


Definizione 9.1

Sia una funzione derivabile in . Si dice retta tangente al grafico nel punto la retta di equazione

(Questa è l'equazione di una retta passante per il punto . In particolare tra tutte le rette del fascio passante per scelgo quella che ha coefficiente angolare ).

 


Se la funzione non è derivabile in un punto non ha la retta tangente in quel punto.

Il secondo membro dell'espressione è il polinomio di grado 1 che approssima meglio la funzione.


Infatti, se considero la differenza se divido per , il tutto tende a 0 quando (dimostrazione ). Quindi quello che c'è al numeratore si annulla piu' rapidamente di . Il polinomio di primo grado è l'unico ad avere questa proprietà (dimostrazione ).


Dimostrazione

Dimostriamo che il limite tende a 0.

Il primo addendo è il rapporto incrementale con Quindi il limite è uguale a 0, perchè il primo addendo tende alla derivata.

 


Dimostrazione

Dimostriamo l'unicità del polinomio di primo grado con la proprietà descritta sopra. Supponiamo di avere un polinomio di primo grado della forma tale che

e mostriamo che e , in modo da ottenere il polinomio . Il limite si riscrive come
Allora , altrimenti il limite del primo addendo sarebbe infinito. In questo modo invece, quando , il primo membro tende alla derivata, quindi affinchè il limite tenda a 0, dev'essere anche .

 


Tra tutte le rette passanti per il punto la retta tangente è quella che approssima meglio la funzione nel senso precisato.

Limite del rapporto incrementale infinito

Esempio 9.2

Sia data la funzione

La funzione è discontinua in . Il limite del rapporto incrementale esiste ed è .

 


Ci sono funzioni con limite del rapporto incrementale infinito ma continue, come mostra il seguente esempio.


Esempio 9.3

Considero la funzione

( non è definita per x negativo.) Per negativo le radici di indici dispari sono le radici del modulo dell'argomento con il segno . Questa funzione arriva nell'origine con limite sinistro e limite destro . Ancora la retta verticale si dice tangente al grafico.

 


Definizione 9.2

Quando il limite del rapporto incrementale destro e sinistro sono diversi ed esistono finiti, allora

si chiama derivata destra e si indica con ), e analogamente
si definisce derivata sinistra e si indica con .


Il punto in cui i due limiti sono diversi si dice punto angoloso.

 


Si definisce punto angoloso anche un punto in cui la funzione è continua, una semitangente è finita e l'altra infinita.


Si dice invece che c'è un punto di cuspide se una semitangente è e l'altra


Facendo riferimento all'esempio precedente, è una funzione con punto di cuspide

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