Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Vettori ortogonali e ortonormali

Definizione 3.1

Un sottoinsieme di vettori si dice ortogonale se quando . si dice ortonormale se è ortogonale e se ogni elemento della famiglia ha norma 1.

 


Osservazione 3.1

Se il sottoinsieme è ortonormale, allora è linearmente indipendente.

 
Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che ortogonale non sia indipendente, allora esiste una combinazione lineare di vettori non nulli tale che

allora, il prodotto scalare di questo vettore che appartiene a con dev'essere 0 perché il primo vettore è nullo:
e siccome tutti i prodotti della forma sono nulli per , rimane
quindi siccome , . Allo stesso modo sono nulli tutti gli altri coefficienti , cioè è indipendente.

 


Un esercizio mostra che, se è il sottospazio lineare generato dai vettori ortonormali tra loro, allora è chiuso. (in particolare ogni spazio vettoriale di dimensione finita è chiuso). Quindi è possibile definire la proiezione su .


Proposizione 3.2

Dato sottospazio lineare ortonormale generato da , per ogni vale l'uguaglianza

 
Dimostrazione

Chiamo . Questo vettore appartiene ad essendo una combinazione lineare, allora

e tranne quando in cui vale 1, quindi
allora il prodotto scalare tra e qualunque combinazione lineare è nullo. Allora .


Concludo che è la proiezione di su .

 

Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Data una successione di vettori linearmente indipendente ma non ortonormale, con questo procedimento posso sostituire alla successione di partenza una successione ortonormale, tale che i primi vettori della vecchia e della nuova successione generano lo stesso sottospazio.


Teorema 3.2

[ortogonalizzazione di Gram-Schmidt] Sia una successione di vettori in linearmente indipendenti. Allora esiste una successione di vettori di ortonormale e tale che per ogni , lo spazio ortonormale generato da è uguale a quello generato da , cioè tale che valgano le proprietà:

e gli sono determinati a meno del segno.

 
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione.


PASSO BASE: Per , , allora cerco tale che e , allora , e pongo

PASSO INDUTTIVO: Supponiamo di aver costruito con le prprietà richieste, e mostriamo che sappiamo costruire .


Considero e lo proietto sul sottospazio generato da . Siccome per l'ipotesi induttiva gli sono ortonormali, la proiezione su vale

allora dev'essere
per , e pongo con ortogonale a .


Mostro che non può essere il vettore nullo, altrimenti si andrebbe contro l'ipotesi di lineare indipendenza. Infatti, se fosse nullo si avrebbe , allora apparterrebbe a che per il passo induttivo e per le formule 1 e 2 è uguale a ; si avrebbe quindi, contro l'ipotesi, che sono linearmente dipendenti.


Avendo dimostrato che , posso porre , infatti , e mostro che il nuovo insieme è ancora ortogonale, ma questo è già stato dimostrato (con al posto di ).


Mostriamo le formule 1 e 2. Si ha

allora
e per l'ipotesi induttiva, per certi , quindi
e l'asserto vale perché è stato espresso come combinazione lineare degli altri vettori.

 
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