Spazi vettoriali

Definizione ed esempi

Definizione 1.1

è uno spazio vettoriale su se esistono le due seguenti operazioni:

  1. la somma che ad ogni coppia di elementi di associa la somma . La somma ha queste proprietà#*è associativa, cioè
    per ogni ;#*è commutativa, cioè
    #*esiste l'elemento neutro tale che per ogni .#*esiste l'opposto tale che .In particolare, l'elemento opposto, se esiste, è unico.Dim. Supponiamo che esistano due opposti, e con , tali che e . Allora, per l'esistenza dell'elemento neutro:
    ma , quindi
    e per associatività e per commutatività
    perché , quindi e l'elemento opposto è unico.
  2. il prodotto scalare tale che alla coppia viene associato ilvettore . Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:#*#*#*#*proprietà distributive: e .
 


Esempio 1.1

Esempi di spazi vettoriali reali sono lo stesso e lo spazio che è l'insieme dei vettori della forma dove gli sono numeri reali. Uno spazio vettoriale sui complessi è insieme delle n-uple con .


Se e sono vettori in , la somma si fa componente per componente ed è il vettore .


Se è uno scalare, .

 


Esempio 1.2

Sull'intervallo , posso considerare lo spazio vettoriale

Date due funzioni , la funzione somma calcolata in un generico punto in è data da .


Dato uno scalare , .


Queste operazioni sono ben definite perché la somma di funzioni continue è ancora continua e lo stesso vale per il prodotto per uno scalare.

 

Il prodotto scalare

In si può definire il prodotto scalare: è un'operazione tale che

Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

  • è bilineare, infatti dati tre vettori e uno scalare , valgono le proprietà:

da cui segue la linearità nella prima componente, e lo stesso è vero per la seconda componente.

  • è commutativo, cioè .
  • Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è sempre positivo ed è nullo se e solo se .

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Proposizione 1.1

Il prodotto scalare verifica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni ,

dove

 
Dimostrazione

Dato e due vettori , considero la combinazione lineare e faccio il prodotto scalare di questo vettore per se stesso:

per le proprietà del prodotto scalare.


Sviluppo il prodotto usando le proprietà di bilinearità:

e per la commutatività del prodotto scalare:
per ogni . L'espressione è un trinomio in quindi è positiva se .
quindi
e prendendo la radice quadrata:

 
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