Disuguaglianze fondamentali

Disuguaglianza di Young

Lemma 1.1

Dati due numeri reali positivi , segue che

dove e (queste condizioni implicano ).

 


Definizione 1.6

Due numeri si dicono coniugati se , e l'unico caso in cui e coincidono è , in tutti gli altri casi implica e viceversa.

 


Definizione 1.7

Dato spazio vettoriale reale una combinazione lineare generica dei vettori e è un vettore della forma con scalari.

 


Definizione 1.8

Una combinazione convessa di e è della forma con , in cui la somma dei coefficienti è 1.

 



Geometricamente, l'insieme delle combinazioni lineari tra due punti è la retta che li congiunge. Invece l'insieme delle combinazioni convesse di due punti è il segmento che li congiunge.


Definizione 1.9

Una funzione è convessa se per ogni reali e per ogni , si ha

 


Geometricamente, il grafico di una funzione convessa è tale che preso un punto nel segmento , allora il valore è più piccolo della combinazione convessa di e , cioè il grafico della funzione sta sotto la retta che congiunge e . Esempi di funzioni elementari convesse sono e .


Una funzione è convessa se ha derivata seconda positiva.


Relazione di convessità per la funzione esponenziale:


La disuguaglianza di Young si dimostra ponendo in modo da ottenere una combinazione convessa.


Dimostrazione

Il caso in cui o è banale perché mentre il secondo membro è positivo, allora supponiamo che .

Nell'esponenziale moltiplico e divido il primo addendo per e il secondo per :
e ottengo la funzione esponenziale calcolata in una combinazione convessa, allora, siccome la funzione esponenziale è convessa, vale quindi proseguendo con le disuguaglianze

cvd

 

Disuguaglianza di Hoelder

Teorema 1.1

Dati coniugati, e numeri reali , segue che

 
Dimostrazione

Al singolo prodotto posso applicare la disuguaglianza di Young, quindi

e sommando a entrambi i membri

IPOTESI INIZIALE: suppongo che

allora in questo caso la formula 1 diventa:
quindi la tesi è vera in quest'ipotesi, perché .


ELIMINAZIONE DELL'IPOTESI: Per i vettori di , e , definisco

e analogamente definisco
Ora e soddisfano le ipotesi, infatti
Allora posso applicare ad e la formula 1 e si ha:
cioè, moltiplicando per :

cvd

 


Nel caso , ottengo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Disuguaglianza di Minkowski

Dimostro che la funzione è una norma:

  1. se e solo se è il vettore nullo.
  2. la disuguaglianza triangolare è data dalla disuguaglianza di Minkowski.


Teorema 1.2

o in altre parole
(se , ottengo la disuguaglianza triangolare per la norma euclidea)

 
Dimostrazione

Cerco di applicare la disuguaglianza di Hoelder:
e sommando:
Distribuisco su e :
Analizzo la prima sommatoria, a cui posso applicare Hoelder:
Se due numeri sono coniugati il loro prodotto e la loro somma sono uguali, infatti quindi . Allora si ha
quindi la formula 1 si riscrive come:
Trattando analogamente il secondo addendo alla fine si ha
e dividendo per :

cvd

 

Casi particolari di norme p

La funzione è una norma, e in particolare:

  1. Se , ottengo
  2. Nel caso limite , si ha
    e siccome non rientra nei casi dimostrati, bisogna dimostrare che è una norma:#* se è il vettore nullo#*Vale l'omogeneità, infatti, dato uno scalare :
    #*Dati due vettori :
    se supponiamo che , si ha

Rappresentazione geometrica delle norme

Per capire come sono fatte le norme considero le bolle centrate in 0 e di raggio 1, cioè

  1. Per la norma 1,
    Dove , la palla è delimitata dalla retta .Dove , la palla è delimitata dalla retta .Dove , la palla è delimitata dalla retta .Dove , la palla è delimitata dalla retta .Queste quattro rette, che si intersecano nei punti , , , , formano un rombo.Quindi la bolla è un rombo, e non una sfera come si direbbe intuitivamente.
  2. Per , la sfera unitaria è un quadrato:
    Le bolle sono dei quadrati centrati nell'origine e di lato 2, in ogni quadrante la bolla è delimitata da due segmenti, uno verticale e uno orizzontale, che si intersecano nei vertici del quadrato.
  3. Per generico, le bolle sono ovali, che stanno tra il rombo e il quadrato.

Queste norme inducono la stessa topologia.

Norme equivalenti

Definizione 1.10

Due norme qualunque, e sono equivalenti se e solo se esistono due costanti positive tali che per ogni ,

 


Esercizio 1.1

Mostrare che questa è una relazione di equivalenza tra norme.

 
Dimostrazione
  1. La relazione di equivalenza di norme è riflessiva, infatti ogni norma è equivalente a se stessa se pongo .
  2. La relazione è simmetrica per definizione.
  3. La relazione è transitiva, infatti
    Allora
    quindi con costanti e .
 


Date due norme equivalenti, se per la norma , allora per , perché se , anche che è minore tende a 0. Vale anche viceversa.


Supponiamo che per la norma , allora per questa norma e quindi si torna nel caso precedente. Allora, se una successione converge per una norma, converge anche per tutte le norme equivalenti ad essa.


Lemma 1.2

La norma 1 e la norma 2 sono equivalenti.

 
Dimostrazione

DISUGUAGLIANZA 1: Dato , dove gli costituiscono una base, si ha per subadditività della norma 2

e ponendo si ha

DISUGUAGLIANZA 2:


Dimostro quest'uguaglianza per induzione: per , considero

e siccome , posso maggiorare con e proseguendo con le disuguaglianze
e prendendo la radice del primo e ultimo membro:

Suppongo l'asserto vero per , cioè , e lo dimostro per :

e sviluppando il quadrato
e maggiorando l'ultimo termine come nel caso :
ma il passo induttivo, implica che e proseguendo con le disuguaglianze si ha:
e ponendo :
cioè, prendendo la radice del primo e ultimo membro:

 


Teorema 1.3

Negli spazi di dimensione finita tutte le norme sono equivalenti.

 
Dimostrazione

Sia una norma generica in , dimostro che è equivalente alla norma 1, e in questo modo per il fatto che questa è una relazione di equivalenza, tutte le norme sono equivalenti.


CONDIZIONE 1: Per generico in , esso si può scrivere in funzione dei vettori della base canonica

e per subadditività della norma:
e se pongo
ottengo
quindi

CONDIZIONE 2:


Per la seconda parte del teorema serve il seguente corollario, che si ricava dalla disuguaglianza appena dimostrata: la norma è continua rispetto alla topologia indotta dalla norma 1, o equivalentemente, se per la norma 1, allora per la norma .

Questo implica anche che se , allora . Questo si ricava dalla prima disuguaglianza.


Per dimostrare la seconda disuguaglianza, considero la circonferenza:

che è un compatto per la topologia indotta dalla norma 2 perché è chiusa e limitata. Siccome per l'esercizio precedente le norme 1 e 2 sono equivalenti, allora l'insieme è un compatto anche nella topologia indotta dalla norma 1.


Introduco una funzione tale che . Questa funzione è continua per la topologia indotta dalla norma 1 per il corollario, allora ammette minimo ristretta ad per il teorema di Weierstrass. Esiste tale che ( è strettamente positivo perché l'unico punto per cui la norma si annulla è l'origine, che non rientra in ).


Prendo un generico diverso da 0 e considero

che appartiene ad , allora
(l'ultimo passaggio vale perché è uno scalare e può essere postato fuori dalla norma), si ha quindi
e complessivamente ho dimostrato che

 



Ora ogni norma in induce la topologia euclidea.

Questo non vale per le metriche, perché, ad esempio, la metrica discreta non induce la topologia euclidea.

Completezza di R^n

Corollario 1.1

con una qualunque norma è completo.

 
Dimostrazione

Considero una successione di Cauchy per la norma generica, e mostro che converge ad un certo vettore. So che se , allora per la disuguaglianza

segue che anche per la norma euclidea . Siccome con la norma euclidea è completo, allora per un certo , e quindi, usando la disuguaglianza opposta
segue che .


cvd

 

Spazi di dimensione infinita

In spazi di dimensione infinita, questo risultato in generale non vale.


Considero insieme delle funzioni continue a valori reali definite su . Definisco due norme su questo spazio:

Per quanto riguarda la norma integrale, in generale
non implica necessariamente , ma nel caso di continua questo avviene sempre. Infatti, data continua, supponiamo che e che ci sia un punto in cui non è 0. Siccome è continua, ci sarebbe un intorno in cui è non nulla, allora
e il primo integrale risulterebbe strettamente positivo, contrariamente alle ipotesi.


Confronto le due norme:

infatti

Geometricamente gli intorni di raggio della norma 1 contengono quelli della norma infinito, la topologia generata dalla norma infinito è più forte di quella generata dalla norma 1.


Per la disuguaglianza , la convergenza uniforme implica la convergenza in norma integrale. Ci si chiede se vale viceversa, cioè se esiste tale che

Questo non è vero, infatti esistono successioni che convergono in norma 1 ma non in norma infinito. Considero ad esempio la successione di funzioni tali che sono nulle prima di e dopo a , passano per il punto , si raccordano con continuità fino a raggiungere e poi decrescono nuovamente fino al punto .


Tutte queste funzioni hanno norma infinito uguale a 1 (è il sup), ma la norma integrale, che è l'area del triangolo, è data da e tende a 0 per .


Nella dimostrazione precedente, il passaggio che non su può applicare negli spazi di dimensione infinita è il fatto che la costante non risulta strettamente positiva. Inoltre le bolle unitarie non sono compatte.

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