Definizione degli spazi L^p

Per fare in modo che le "norme " siano norme a tutti gli effetti negli spazi , sostituisco le funzioni con le loro classi di equivalenza rispetto alla relazione tale che se sono uguali quasi ovunque.


Se , allora sno diverse sull'insieme di misura nulla, allora, per ogni si deve avere .


PASSO 1: Mostro che è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione
  1. è riflessiva, infatti con .
  2. è simmetrica, infatti se , allora su , ma si ha anche su cioè .
  3. è transitiva, cioè mostro che se e , allora .Se allora . Se , allora , con e .
    e verifico che il complementare di quest'intersezione ha misura nulla:
    per le leggi di complementazione, e .
 



Si può ora definire

Su questo spazio definisco la somma:

PASSO 2: Verifico che la somma è ben definita e non dipende dalla scelta del rappresentante nella classe di equivalenza.

Dimostrazione

Date e mostro che , cioè che .

e come prima .

 


Definisco poi il prodotto per uno scalare

e se , ovviamente .

Allora con la somma e il prodotto definiti è uno spazio vettoriale.


Definisco la norma:

PASSO 3: Mostro che la norma è ben definita, e non dipende dal rappresentante scelto in .

Dimostrazione

Mostro che

Divido in e , e non riscrivo l'integrale sull'insieme di misura nulla che fa 0, quindi rimane da dimostrare:
e questo è vero perché su coincidono.

 



Ora è soddisfatta anche la prima proprietà della norma che mancava negli spazi :

Infatti
e questo è vero se e solo se l'integranda è quasi ovunque nulla, e quindi se .


Le altre proprietà continuano a valere.

Per brevità si scrive

ma in realtà questo è lo spazio delle classi di equivalenza.

Completezza di L^p

Teorema 1.4

Se e è una misura positiva, è completo per la norma .

 


Per la dimostrazione servono alcuni preliminari.


Considero una successione a valori reali. Fisso un intero e pongo allora . Pongo . Analogamente si pone

La successione ammette limite se e solo se il liminf e il limsup coincidono. Prendendo tutte le sottosuccessioni convergenti della successione di partenza, se calcolo l'inf di questi limiti ottengo l'inf della successione di partenza.


Il liminf di una successione di funzioni è la funzione definita puntualmente come .


Lemma di Fatou: Data una successione di funzioni misurabili positive con misurabili, allora


Proposizione 1.6

Sia di Cauchy in , cioè tale che per ogni esiste tale che per ogni coppia di indici segue che

Allora esiste una sottosuccessione estratta dalla successione di partenza tale che, per ogni ,

 
Dimostrazione

Pongo . Allora esiste un indice tale che per ogni , allora

Scelgo come primo elemento della sottosuccessione.


Per ripeto il procedimento: esiste tale che per ogni

Posso scegliere senza perdita di generalità, perché verifica sicuramente la condizione vera per , che è più debole.


Come secondo elemento della sottosuccessione considero quindi .


Gli elementi che sto scegliendo verificano la proprietà, perché per si ha:

(e questo è vero perché e per , .)


Proseguo e pongo . Allora esiste tale che per ogni

e pongo .


Per induzione costruisco la sottosuccessione che verifica la proprietà.

 


Dimostrazione

Data una successione di Cauchy , per ogni k, chiamo

dove le sono gli elementi della sottosuccessione scelta prima.


Osservo che per Minkowski, avendo una somma finita

(ho una parte della sommatoria della serie geometrica di ragione .) quindi sta in .


Definisco poi

Applico il lemma di Fatou:
per la formula 1, quindi ho mostrato che perché ha integrale finito.


Anche l'integranda dev'essere finita quasi ovunque.


Pongo

la serie è assolutamente convergente quasi ovunque, e pongo dove la serie non converge assolutamente (è un insieme di misura nulla).


Ho una serie telescopica, quindi

Allora

può essere considerato come limite della successione estratta.


Applico nuovamente Fatou a . Per come sono state definite le , per ogni esiste tale che per ogni

Fisso . Applico Fatou sapendo che .

Allora , allora anche , infatti ed è somma di funzioni di .


Rimane da mostrare che

ma per , ho già dimostrato
Quindi la successione converge al limite puntuale di che sta in per quanto dimostrato prima, e ogni successione di Cauchy converge.

 


Se è unna successione di Cauchy in , allora esiste che è limite puntuale di una sottosuccessione di . In generale devo considerare sottosuccessioni, e non posso affermare che tutta la successione converge puntualmente al limite.

Ci sono due tipi di convergenza.

Non è vero che una successione di Cauchy converge puntualmente al limite della successione in , come mostra il seguente esempio.


Esempio 1.6

Su , definisco questa successione di funzioni:

Al passo successivo suddivido l'intervallo in quattro:
Poi divido in ottavi e ripeto il procedimento. Il picco delle funzioni si sposta lungo l'intervallo, e diminuisce ogni volta che le suddivisioni dell'intervallo aumentano.


Si ha che in , cioè

infatti, se tale che è fatto da intervalli di ampiezza a quel passo, si ha che l'integrale è l'area del picco, cioè
ma per , l'integrale va a 0.


Questa successione però non converge puntualmente, infatti, per fissato vale alternatamente 0 e 1 e non converge, infatti al crescere di , si può trovare sopra o sotto il picco.


Però posso prendere una sottosuccessione, che converge puntualmente alla funzione nulla. Considero la sottosuccessione pr ogni , cioè prendo solo le funzioni in cui il picco si trova all'inizio, cioè la successione della prima funzione che definisco dopo ogni suddivisione.


Se prendo positiva, il picco definitivamente si sposta a sinistra e quindi converge alla funzione nulla puntualmente.

 

Lo spazio L^infty

Chiamo

è l'insieme delle funzioni essenzialmente limitate.


Pongo e dimostro che è un minimo, cioè che .


Per mostrare che quasi ovunque mostro che

ha misura nulla.


Per ogni , definisco

e questo insieme ha misura nulla.
allora perché è unione di insiemi di misura nulla.


Quindi è un minimo e quasi ovunque.


Mostro che è una norma:

  1. quasi ovunque se e solo se , perché posso eliminare l'insieme di misura nulla in cui non è nulla.
  2. se prendo due funzioni essenzialmente limitate deve valere la disuguaglianza triangolare. Quasi ovunque

Quindi è uno spazio normato e si può dimostrare che è completo.


La disuguaglianza di Hoelder si estende al caso , . La disuguaglianza di Hoelder dice che se , allora

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