Spazi con prodotto scalare

Prodotto scalare

Definizione 2.1

Considero uno spazio vettoriale reale o complesso, di dimensione anche infinita. Si chiama prodotto scalare su una forma bilineare , che verifica le seguenti condizioni:

  1. linearità rispetto la prima componente, cioè
  2. simmetria

e tale che

 


Nel caso complesso si richiede che , cioè è antilineare nella seconda variabile, mentre vale la linearità nella prima componente. Valgono le seguenti proprietà:


Esempio 2.1

Un esempio è con il prodotto scalare standard.

 


Esempio 2.2

Dato reale, formato da tutte le successioni tali che , un prodotto scalare è dato da

Questo è un prodotto scalare se
e per le proprietà distributive

 


Esempio 2.3

Sullo spazio

definisco il prodotto scalare
mentre nel caso complesso

Questo è un prodotto scalare, infatti

e per additività dell'integrale
e portando fuori gli scalari
Inoltre
se e solo se è la classe di equivalenza di 0, perché dev'essere 0 a meno di un insieme di misura nulla.

 


Il prodotto scalare induce una norma, data come la radice del prodotto scalare di con se stesso, ad esempio, su ,

Caso generale della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Teorema 2.1

Considero due vettori , e mostro che

 
Dimostrazione

Prendo vettori e . Si ha

e sviluppando il prodotto
Per ogni reale, il trinomio in è positivo se il delta è negativo, quindi
quindi, estraendo la radice quadrata

 

Norme indotte da prodotti scalari

Come nel caso di dimensione finita, poniamo , e verifico che sia una norma su :

  1. se il vettore è nullo, e quindi , e viceversa.
  2. dati , verifico che
    e applicando Cauchy-Schwartz:

Spazio di Hilbert e disuguaglianza del parallelogramma

Definizione 2.2

Uno spazio è di Hilbert se è uno spazio completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare.

 


Teorema 2.2

Dato un prodotto scalare e presi due vettori in ,

 

Nel caso di , questa disuguaglianza implica che la somma delle lunghezze delle diagonali di un parallelogramma al quadrato è uguale alla somma dei lati al quadrato moltiplicata per 2. rappresentano i lati del parallelogramma. In , questa disuguaglianza si dimostra geometricamente usando il teorema del coseno: Il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle lungezze dei lati meno il doppio prodotto delle lunghezze dei lati per il coseno tre i lati.


Dimostrazione

 

Vettori ortogonali

Definizione 2.3

I vettori sono ortogonali se , e si scrive .

 



Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,

quindi, dividendo per :
e questa quantità rappresenta il coseno dell'angolo tra i due vettori, cioè
In , questo risultato si ricava sapendo che il prodotto scalare si definisce anche come
e da qui si ricava l'espressione di , che coincide con quella trovata prima nel caso generale.

Uguaglianza di Cauchy-Schwarz

Per ottenre il caso in cui vale l'uguaglianza di Cauchy-Schwarz, si impone che

invece che con il segno come prima, e questo avviene quando , cioè quando sono linearmente dipendenti.


Verifico se questo è vero:

e le due quantità sono uguali.

Disuguaglianza di Hoelder:

c'è l'uguaglianza quando sono linearmente dipendenti, cioè se esistono non nulli tali che
quasi ovunque.

Vettore perpendicolare ad un insieme

Definizione 2.4

Se si dice che se . se .

 


Definisco poi

e in certi casi questi due spazi coincidono.


Esercizio 2.1

Determinare gli spazi e .

 

Distanza

Definizione 2.5

si dice convesso se dati e , la combinazione convessa

 


Geometricamente, presi due punti , il segmento che congiunge i due punti dev'essere contenuto in .

Dati due insiemi convessi, è ancora un insieme convesso. Dato che a priori non è convesso, il più piccolo convesso che contiene è l'intersezione di tutti i convessi che contengono .


Definizione 2.6

Se è uno spazio metrico, , allora la distanza del punto da un sottoinsieme è data da

 



Se , .


Esercizio 2.2

Dimostrare che se e solo se .

 
Dimostrazione

: se , o o . Se , è ovvio che . Se , per ogni intorno di centro e raggio tale che

allora esiste almeno un tale che , e siccome questo vale per ogni , e quindi

: viceversa, se , significa che esiste tale che

ma questo significa che, per ogni , , e quindi
e quindi o .

 


Esercizio 2.3

In generale, dato un insieme qualunque, la distanza non è realizzata da un solo punto, e il punto di minima distanza potrebbe anche non esistere. Pensare ad un esempio in cui questo avviene.

 
Dimostrazione

In , considero un quadrato di vertici , , e . Allora, se considero la distanza del punto da questo insieme, la distanza minima è realizzata dai punti , , , .


In , considero l'insieme dei numeri della forma al variare di . Allora , ma non esiste nessun punto che realizza la distanza minima.

 



Considero uno spazio di Hilbert e un insieme convesso chiuso non vuoto di . Considero un punto che non appartiene a . Allora esiste un unico tale che .

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nel caso complesso

Dati e , considero

Tenendo conto che , e che valgono le proprietà e , sviluppo il primo membro:
pongo
Gli esponenziali si semplificano:
Ho un trinomio in , che essendo positivo deve avere delta negativo.
ma
quindi

Teorema di Pitagora

Teorema 2.3

Per ogni , considero vettori tali che se , allora segue che

 
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione. Passo base: se e , allora

ma per ortogonalità i termini centrali sono nulli e rimane

Supponiamo che la tesi sia vera per e la dimostro per .

e siccome e sono perpendicolari, per il caso si ha:
ma applicando l'ipotesi induttiva

 


Nel caso vale anche l'implicazione inversa, cioè se vale il teorema di Pitagora, allora .

Identità polari

Le identità polari permettono di esprimere il prodotto scalare in termini della norma.


Nel caso reale:

e nel caso reale i termini centrali coincidono, quindi
quindi
e il primo membro c'è il prodotto scalare che si può ricavare conoscendo la norma.


Tuttavia non è detto che data una norma, la quantità al primo membro sia un prodotto scalare.


Teorema 2.4

A partire dal prodotto scalare al primo membro posso definire la norma

se vale l'uguaglianza del parallelogramma:

 



Nel caso complesso, vale sempre la seguente identità polare:

Dimostrazione

Considero le quattro relazioni seguenti

e sommando le quattro uguaglianze, tenendo conto che i termini della forma si elidono rimane:

 

Distanza in spazi di Hilbert

Teorema 2.5

Nelle ipotesi che sia di Hilbert e sia un convesso chiuso non vuoto e , allora esiste uno e un solo punto tale che

 



Obbiezioni: Intuitivamente negli spazi finiti dato un punto, si può considerare una bolla che interseca l'insieme da cui voglio calcolare la distanza. Siccome la bolla è un compatto e la distanza è continua, allora ammette un minimo per il teorema di Weierstrass, ma questo non avviene in spazi infiniti, quindi in uno spazio di dimensione infinita non c'è nessuna garanzia che il minimo che realizza la distanza esista. Anche in spazi di dimensione finita l'esistenza del punto di minima distanza avviene con certezza solo se l'insieme è chiuso.


Esercizio 2.4

Mostrare che traslando un convesso di un vettore , ottengo ancora un insieme convesso.

 
Dimostrazione

Considero

Considero la combinazione convessa di due vettori in :
e siccome è convesso, , e quindi ho ottenuto un vettore della forma che sta quindi in , cioè è chiuso per combinazioni convesse.

 


Dimostrazione

IPOTESI PRELIMINARI: Siccome traslando un insieme convesso e chiuso ho ancora un insieme convesso e chiuso, ci possiamo limitare al caso , inoltre supponiamo , altrimenti è punto di minima distanza. ESISTENZA DI : definisco e cerco tale che .


Siccome è definita come , ogni punto in avrà distanza maggiore di , quindi esiste una successione di vettori con la seguente proprietà: dato positivo, posso trovare tale che per ogni , allora

Mostro che la successione è di Cauchy, e per farlo applico l'uguaglianza del parallelogramma alla differenza :

e semplificando
Maggioro ogni termine di segno positivo e minoro quelli di segno negativo. A priori perché è punto medio del segmento di estremi e per la convessità di appartiene all'insieme, invece per la relazione . Quindi
quindi la successione è di Cauchy, e converge per l'ipotesi di completezza (spazio di Hilbert) ad un certo valore .


Per l'ipotesi di chiusura .

e per , il primo termine tende a 0 e il secondo a . Allora è vero che e ho trovato l'elemento di minima distanza dall'origine. UNICITÀ: Supponiamo che esista tale che anche . Per l'uguaglianza del parallelogramma
Isolando il primo termine
ma , quindi , e si ha
quindi, per la positività della norma, questa dev'essere uguale a 0 e quindi . COMMENTO: E' stata usata più volte la convessità per determinare e la regola del parallelogramma, anche l'ipotesi che lo spazio sia completo è fondamentale.

 

Caso di insieme lineare chiuso

Sia ora un sottospazio lineare chiuso. è convesso perché contiene le combinazioni lineari e quindi anche quelle convesse, allora dato qualunque, esiste un unico elemento tale che

Teorema 2.6

Se è un sottospazio lineare chiuso, allora è tale che se e solo se è ortogonale ad , cioè, se e solo se .

 
Dimostrazione

: Supponiamo che realizzi la minima distanza , allora mostro che è perpendicolare ad ogni vettore . Fisso e osservo che per la struttura lineare dell'insieme, quindi e si ha:

Per l'identità polare sui complessi:
e maggiorando il primo termine al secondo membro usando la formula :
ed eliminando i termini opposti e portando al primo membro:
Sostituisco , dove è l'angolo tra e (segue quindi che, semplificando per , ), e pongo .
Se , e quindi . Quindi il prodotto scalare è nullo con ogni vettore di .


: suppongo che sia ortogonale a e mostro che

Considero .
ma , quindi applico il teorema di Pitagora al secondo membro:
allora, siccome al secondo membro ho la somma di due quantità positive, .

 


Ad ogni , si può associare il vettore proiezione di su .

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