Trasformata di Fourier

Su normalizzo il prodotto scalare ponendo

Data , l'n-esimo coefficiente di Fourier di è

In norma ogni converge alla propria serie di Fourier, cioè a , quindi, in norma ,

Inoltre per Parseval si ha
quindi la serie al secondo membro converge, e vale il seguente lemma.


Lemma 5.1 (di Riemann-Lebesgue)

Per ogni ,

cioè, in forma complessa
e in forma reale

 


Osservazione 5.2

La trasformata di Fourier è la funzione che permette il passaggio da a . sta in per Parseval. è la trasformata di Fourier di . è un'isometria, quindi è iniettiva, è lineare ed è suriettiva (la dimostrazione è già stata fatta nel caso generale) e quindi la trasformata di Fourier è un isomorfismo fra e .

 
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