Sistema trigonometrico

La funzione tale che è una funzione da in periodica.

Sistema ortonormale per L^2(T)

Sia la circonferenza unitaria sul campo complesso, e . Definisco

Definisco il prodotto scalare come

allora la norma indotta è

Considero il sistema delle funzioni con e mostro che è un sistema ortonormale per .

  1. Le funzioni del sistema sono a due a due ortogonali. Infatti se si ha
  2. se considero la norma di funzioni di questo tipo si ha


Osservazione 5.1

Si può passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica di un numero complesso attraverso la relazione:

quindi sommando e sottraendo le due relazioni si ha:
cioè appartengono all'inviluppo lineare del sistema.

 


Definizione 5.1

La quantità

viene chiamata polinomio trigonometrico, e i coefficienti a priori stanno in .


In forma esponenziale il polinomio trigonometrico di grado si scrive come:

 


Esercizio 5.1

Dimostrare le relazioni di ortogonalità tra seni e coseni, in particolare dimostrare che:

 


Suggerimento: Ricordare che valgono le formule trigonometriche, che si ricavano esplicitando la relazione :

ed eguagliando parte reale e immaginaria si ha:

Dimostrazione

Dimostro la prima relazione di ortogonalità:

Dalle formule precedenti si ricava:
quindi
Si fa un ragionamento analogo per le altre relazioni.

 
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