Teorema di Rietz

Esercizio 7.10

Mostriamo che il teorema di Rietz non vale se non è completo.

 
Dimostrazione

Per il teorema di Rietz, dato un funzionale lineare e continuo , esiste un vettore che rappresenta , cioè tale che e .


Nello spazio , il prodotto scalare è definito come

e questo spazio, come mostrato precedentemente, non è completo. Considero .

  1. Mostro che è lineare.
    per linearità dell'integrale.
  2. Mostro che è continua. Basta mostrare che esiste una costante tale che .
    applico Hoelder ponendo :
    quindi la costante cercata è 1, e è lineare e continuo.
  3. Mostro che non esiste cercato. Supponiamo per assurdo che esista tale che
    e in termini di integrali si dovrebbe avere
    Osservo che la disuguaglianza vale per la funzione , che però non è continua:
    Mostro che dev'essere nulla dopo . Supponiamo che a destra di ci sia un punto in cui non sia 0 ma abbia valore positivo. Siccome è continua, esiste un intorno di in cui la funzione si mantiene positiva.La disuguaglianza deve valere per ogni . Considero quindi una funzione che vale 0 fino a , poi forma un triangolo nell'intervallo di altezza 1 e poi torna a 0. Allora la formula che deve valere diventa:
    e su questo intervallo sono non nulle, quindi l'integrale non può essere nullo come deve.La supposizione che ci sia un punto a destra di in cui la funzione non è nulla è assurdo, allora dev'essere nulla a destra di e in per continuità.Riscrivendo il membro di destra dell'uguaglianza con l'informazione che è nulla dopo ottengo:
    e questo deve valere per ogni , in particolare per .
    e siccome questo è l'integrale di una funzione continua positiva, si deve avere , e per continuità deve valere 1 in e c'è una contraddizione.
 
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