Polinomi di Legendre

Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Esercizio 7.11

Consideriamo , con il prodotto scalare

Trovare una base ortonormale a partire dalla successione di vettori linearmente indipendenti

 
Dimostrazione

Il primo vettore della base data è , e devo normalizzarlo perché non ha norma 1, infatti

Quindi pongo

Considero poi , e verifico se è ortogonale al vettore della base ortonormale già trovato:

perché ho una funzione dispari integrata su un dominio simmetrico. Quindi , e basta normalizzarlo per ottenere il secondo vettore della base ortonormale:

Ora verifico se è ortogonale ai vettori trovati:

Ora pongo

Vettori ottenuti finora:

Questi tre vettori sono linearmente indipendenti e hanno gradi diversi, quindi lo spazio generato da essi è uguale a quello generato da , come previsto. Nei vettori di indice pari compaiono solo potenze pari. Ci si aspetta che in compariranno le potenze .
I vettori ottenuti sono i polinomi di Legendre, che si ottengono anche con una formula ricorsiva. Questi polinomi se sono di grado pari hanno solo potenze pari, e lo stesso vale per il grado dispari.

 

Criterio di Leibniz

  1. Deduco la formula generale per calcolare la derivata n-esima del prodotto di due funzioni.Considero due funzioni , allora
    Su ogni monomio la somma dell'ordine di derivazione è uguale all'ordine di derivazione di , quindi in generale vale la formula di Leibniz:
  2. Osservo che la funzione verifica una determinata equazione differenziale, infatti
    e moltiplicando per , si ha che verifica l'equazione differenziale:
  3. Derivo volte quest'espressione, applicando Leibniz. Indico con la derivata -esima di rispetto ad :##Per il primo addendo si ha:
    e applicando Leibniz:
    (tutti i termini successivi sono nulli perché le derivate di di ordine superiore a 2 sono nulle)
    ##Ora derivo il secondo termine, :
    Complessivamente, annullando la derivata -esima della relazione si ha:
    Se pongo , verifica l'equazione differenziale del secondo ordine:
    Questa è un'equazione lineare omogenea, quindi l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2 (basta trovare due soluzioni linearmente indipendenti, e le altre si scrivono come combinazione lineare di queste).L'equazione si può riscrivere come:
  4. Mostro, attraverso l'equazione di Legendre, che le sono ortogonali tra di loro sull'intervallo .Devo mostrare che
    per ogni .Ponendo , osservo che infatti perché le soddisfano l'equazione di Legendre.Quindi
    Raccolgo i termini che contengono il prodotto :
    e integrando entrambi i membri:
    quindi si ha che (cioè che le sono ortogonali) se e solo se:
    Dimostro quindi la formula 1, separo i due addendi:
    ma i termini tra parentesi quadra sono nulli perché si annulla in , quindi rimane:
    perché i due termini opposti si cancellano, quindi vale la formula 1, quindi segue l'ortogonalità delle .
  5. Relazione con i polinomi di Legendre: affermo che le sono, a meno di una costante moltiplicativa, i polinomi di Legendre. Infatti le sono polinomi di grado , e sono ortogonali.Siccome l'equazione di Legendre è un'equazione differenziale del secondo ordine le soluzioni dipendono da due parametri, . Se è un intero, una delle due soluzioni è un polinomio di Legendre, mentre l'altra è analitica.
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