Distanza e proiezioni

Esercizio 7.4

Dato non vuoto, definisco

Mostrare che la funzione che a associa è uniformemente continua e definita su tutto .

 
Dimostrazione

Considero e valuto la quantità . Osservo che , e per la disuguaglianza triangolare

e unendo queste informazioni:
Passando all'inf, la disuguaglianza continua a valere perché il membro di sinistra non dipende da .
Quindi la funzione è continua, perché basta porre per fare in modo che, se , allora .

 


Esercizio 7.5

Siano uno spazio di Hilbert e sottospazi lineari chiusi ortogonali. Mostrare che

  1. è un sottospazio chiuso.
  2. determinare la relazione tra (che esiste perché per il punto precedente è chiuso) e e .
 
Dimostrazione

Mostro che è un sottospazio di . Dati posso scrivere con , e con . Allora

e osservo che per la linearità di e , e , quindi perché è stato scritto come somma di elementi nei .


Dimostro che è chiuso. Equivalentemente devo dimostrare che data una successione a valori in convergente ad un certo , si ha che .


Considero una successione dove dove e . Allora voglio mostrare che

Applicando il teorema del limite della somma si avrebbe con e , ma questo teorema si può applicare solo se i limiti esistono. In spazi generici questo non è vero, mostriamo che è vero per spazi chiusi.


Applico ai due membri della relazione :

infatti perché è ortogonale a tutti i vettori di per ipotesi, e perché .


Per la continuità di , implica , e siccome , . Analogamente .


Allora e ammettono limite, quindi posso applicare il teorema del limite della somma:

e siccome e si ha che è chiuso.


Ipotizzo che . Sia . e , quindi . Mostro che

è ortogonale a , in modo che .


Per le proprietà generali delle proiezioni su e si ha . per ipotesi quindi . Allo stesso modo , e quindi è ortogonale a .

 


Esercizio 7.6

Dimostrare che è una proiezione se e solo se e è autoaggiunta, cioè per ogni , .

 
Dimostrazione

è ovvia.


: voglio mostrare che

per ogni . Osservo che
e per il fatto che è autoaggiunta:
ma è idempotente, quindi
e usando ancora il fatto che è autoaggiunta, il tutto fa 0, quindi è una proiezione.

 



Non è detto che in generale due proiezioni commutino.


Esercizio 7.7

Mostrare che se , allora è una proiezione.

 
Dimostrazione

Per l'esercizio precedente, dimostrare che è una proiezione equivale a dimostrare che

  1. è idempotente, e questo è vero, infatti, tenendo conto del fatto che commutano:
    ma siccome è idempotente:
    dove nell'ultimo passaggio ho usato il fatto che anche è idempotente.
  2. è autoaggiunta, infatti
 



Per mostrare il viceversa è necessario il seguente lemma:

Lemma 7.1

Detta e , segue che se e solo se .

 
Dimostrazione

Se , allora ovviamente . Viceversa, dato , e fissano quindi si può scrivere , allora .

 


Allora possiamo mostrare che:

Proposizione 7.1

Se è una proiezione, allora e commutano.

 
Dimostrazione

Per ipotesi,

quindi
Inoltre, sempre per ogni , si ha
quindi per le formule 1 e 2:
ma allora, inserendo la formula 2 nella formula 1 si ha:
cioè per ogni quindi è la proiezione su , quindi e le due proiezioni commutano.

 
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