Teorema di Banach-Steinhaus

Densità di un insieme in uno spazio metrico

Proposizione 6.1

In uno spazio metrico , è denso se e solo se per ogni aperto, .

 
Dimostrazione

: supponiamo che sia denso in . Se fosse vuoto, si avrebbe , e quindi , ma è denso quindi . Si ha quindi e questo è assurdo perché è non vuoto.


: supponiamo che per ogni aperto non vuoto, . Supponiamo per assurdo che non sia denso in , allora l'insieme è non vuoto, inoltre è un aperto essendo complementare di un chiuso. Allora per l'ipotesi si deve avere , cioè , ma questo non può avvenire e si ha una contraddizione. Allora necessariamente è vuoto cioè e è denso in .

 

Teorema di Baire

Definizione 6.3

Dato uno spazio metrico , un sottoinsieme di che si scrive come intersezione numerabile di aperti è detto , mentre un insieme che si scrive come unione numerabile di chiusi è chiamato .

 


Teorema 6.3

Sia uno spazio metrico completo, e una successione di aperti densi. Allora è densa in .

 
Dimostrazione

Vogliamo dimostrare che è densa. Sia aperto non vuoto, e mostro che .


Considero , allora è non vuoto per la densità di allora conterrà un punto , inoltre è aperto essendo intersezione di aperti allora esiste tale che , e posso anche supporre (se questo non avviene basta ridurre ). Infine posso supporre .


Considero poi , allora come prima è un aperto non vuoto quindi esistono e tali che , e posso supporre .


Procedo induttivamente: considero e siccome è denso l'intersezione è non vuota e conterrà un punto , inoltre l'intersezione è aperta allora esiste una bolla contenuta nell'intersezione, con .


Mostro che la successione è di Cauchy: Le bolle sono una contenuta nell'altra all'aumentare di . Fissato , se prendo , si ha che , allora

allora la successione è di Cauchy.


Siccome è completo, per un certo . Gli appartengono definitivamente alle bolle e quindi a che contiene tutte le bolle; segue anche che , allora

e vale la tesi.

 


Il teorema di Baire è anche una conseguenza del teorema di Cantor: le chiusure delle bolle infatti sono chiusi uno contenuto nell'altro, il cui diametro tende a 0, come nelle ipotesi del teorema di Cantor.


Il teorema di Baire vale anche in spazi localmente compatti o separati.

Funzioni inferiormente e superiormente continue

Consideriamo funzioni , con continua. è continua in se per ogni esiste tale che per ogni , , o equivalentemente

In particolare, se per ogni vale la condizione si ha la semicontinuità superiore di ; se vale la condizione si ha la semicontinuità inferiore di .


Allora una funzione è continua se è semicontinua contemporaneamente inferiormente e superiormente.


è semicontinua inferiormente in se per ogni esiste tale che per ogni , .


Lemma 6.1

è semicontinua inferiormente se e solo se per ogni , è aperto.

 

(la semicontinuità superiore si caratterizza con l'apertura delle controimmagini delle semirette , mentre la continuità con l'apertura delle controimmagini degli intervalli aperti)

Dimostrazione

: Supponiamo semicontinua inferiormente; sia e . Allora , e quindi esiste tale che per ogni , , e questo significa che , cioè è aperto perché contiene un intorno di ogni suo punto.


: supponiamo che per ogni è aperto. Fisso e mostro che è semicontinua in . Scelgo , allora , allora per l'apertura della controimmagine esiste tale che , e quindi per ogni ma questa è proprio la definizione di semicontinuità inferiore.

 

Sup di funzioni semicontinue inferiormente

Il sup di funzioni semicontinue inferiormente è ancora semicontinuo inferiormente, e analogamente l'inf di funzioni continue superiormente è ancora continuo superiormente (questo non vale per la continuità). Più precisamente vale il seguente lemma:


Lemma 6.2

Sia un insieme di indici e supponiamo di avere una famiglia di funzioni semicontinue inferiormente, e chiamo (questo vuol dire che per ogni , ). Allora è ancora semicontinua inferiormente.

 
Dimostrazione

Prendo un punto e , allora esiste t.c. .


Ma è semicontinua inferiormente in , allora esiste tale che per ogni , , cioè è semicontinua inferiormente.

 


Teorema 6.4

Sia uno spazio metrico completo, e una famiglia di funzioni semicontinue inferiormente, con . Supponiamo che per ogni , sia limitato, cioè per ogni esiste una costante tale che

Allora esiste aperto ed esiste tale che per ogni e per ogni , . (si passa dalla limitatezza puntuale alla limitatezza uniforme)

 
Dimostrazione

Poniamo , allora è semicontinua inferiormente per il lemma precedente. Chiamo , che è aperto per la semicontinuità inferiore di . Considero

ma, per l'ipotesi di limitatezza puntuale di , quest'insieme è vuoto (infatti per ogni esiste tale che , e quindi, per non può valere la condizione ).


Allora non è densa, e quindi, siccome i sono aperti, dal teorema di Baire segue che esiste un tale che non è denso in , e quindi esiste un aperto non vuoto tale che .


Questo implica che, per ogni , (infatti ). Ma per definizione , quindi per ogni , e vale la tesi.

 

Principio di limitatezza uniforme (teorema di Banach-Steinhaus)

Il teorema precedente si può applicare anche al caso di spazi di Banach.


Teorema 6.5

Sia uno spazio di Banach, e una famiglia di applicazioni lineari con spazio normato. Allora vale l'alternativa:

  1. esiste una costante tale che ;
  2. esiste intersezione numerabile di aperti, denso in tale che per ogni , .
 
Dimostrazione

Definisco , allora le sono semicontinue. Pongo , allora è semicontinua inferiormente.


Definisco l'aperto

Allora possono verificarsi due casi:

  1. PER OGNI , È DENSO. Quindi per il teorema di Baire posso asserire che è il che soddisfa l'alternativa 2.
  2. ESISTE Errore del parser (funzione sconosciuta '\BAR'): {\displaystyle \BAR N} TALE CHE Errore del parser (funzione sconosciuta '\BAR'): {\displaystyle V_{\BAR N}} NON È DENSO. Allora, come prima, esisterà aperto non vuototale che . è aperto e non vuoto, quindi segue che esistono e tali che . Inoltre , allora per ogni , si ha quindi, ma , e quindi per ogni ,
    Mostro che la condizione non vale solo in ma anche nel traslato di questa bolla nell'origine.Prendo allora
    dove l'ultimo passaggio vale per linearità delle , e per subadditività della norma, si ha:
    infatti e vale la formula 1.Definisco un'omotetia: Per , il punto , infatti la sua norma è minore di . Allora applicando la formula 2 a :
    e per linearità di :
    e questa disuguaglianza vale per ogni e per ogni , allora passando al sup:
    cioè, per la definizione di norma di un'applicazione lineare:
 

Applicazione del teorema di Baire

Dato un insieme , che si scrive come unione numerabile di chiusi, allora il suo complementare è un , infatti, se considero insiemi chiusi,

cioè può essere scritto come intersezione numerabile di aperti.


Esempio 6.2

è un perché può essere scritto come unione numerabile dei suoi punti, quindi è .

 


Esiste una metrica sugli irrazionali, per cui la topologia indotta è quella euclidea e per cui lo spazio diventa completo.


Proposizione 6.2

non è un .

 
Dimostrazione

Sia un'enumerazione dei razionali, e supponiamo per assurdo che dove i sono aperti densi. Definisco gli insiemi , allora è ancora aperto (complementare di un chiuso) e denso. Si ha però che , e per il teorema di Baire questo implica che esisterà un indice tale che non sia denso, assurdo!

 


Con un ragionamento analogo si dimostra il seguente teorema:

Teorema 6.6

Sia uno spazio metrico completo senza punti isolati, e sia numerabile e denso, allora non può essere un .

 


Corollario 6.1

Un sottoinsieme denso di uno spazio metrico completo senza punti isolati deve essere non numerabile.

 


Esempio 6.3

Considero la successione . Questo è un sotoinsieme numerabile di , ma in questo caso vale il teorema di Baire: la differenza rispetto al caso è che è compatto e quindi completo.

 
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