Teorema dell'applicazione aperta

Parte interna di un insieme

Se è uno spazio topologico e , allora è l'unione di tutti gli aperti di contenuti in : in particolare vale la seguente formula

Dimostrazione

Inclusione 1: . , e passando al complementare

ma siccome è aperto, segue che .


Inclusione 2: . Considero aperto contenuto in , mostro che .

e passando nuovamente al complementare

 


Corollario 6.2

implica denso.

 
Dimostrazione

implica e quindi .

 


Corollario 6.3

Sono equivalenti queste due formulazioni:

  1. se è una successione di aperti densi, allora
  2. se è una successione di chiusi tali che , allora deve esistere tale che .
 
Dimostrazione

Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : Considero una successione di chiusi tali che . Allora passando al complementare

Siccome per ipotesi vale la condizione 1, cioè un'intersezione di aperti densi è sempre diversa dal vuoto, esisterà un tale che non sia denso, e quindi, per il corollario precedente, si ha .


: consideriamo una famiglia di aperti densi , e definiamo gli insiemi che sono chiusi. Siccome gli sono densi, per il corollario precedente . Siccome deve valere la condizione 2 e non esiste tale che , deve verificarsi che

e passando al complementare

 

Altri risultati preliminari

Se è normato, fisso allora l'applicazione è un omeomorfismo. Infatti sappiamo che è iniettiva e suriettiva, e dimostriamo che è continua (se questo avviene, l'inversa sarà necessariamente continua): se , .


Inoltre, se è uno scalare diverso da 0, allora l'applicazione è un omeomorfismo. Infatti è iniettiva e suriettiva, è continua (segue dal'omogeneoità della norma) e l'inversa è un omeomorfismo.


Proposizione 6.3

Dati , allora vale che

dove .

 
Dimostrazione

Prendo , allora dato esiste una successione tale che , inoltre dato esiste una successione tale che . Allora:

dove è una successione di elementi in , quindi .

 



In generale non vale l'uguaglianza.


Non è vero che .


Esercizio 6.1

Dimostrare che se sommo un compatto e un chiuso , allora la somma è chiusa.

 

Teorema dell'applicazione aperta

Definizione 6.4

Una funzione si dice aperta se l'immagine di un aperto è aperta.

 


Teorema 6.9

Considero di Banach, e continua. Allora è aperta.

 
Dimostrazione

Definisco e . Divido la dimostrazione in tre passi.


PASSO 1: affermo che è aperta se e solo se per ogni positivo, esiste positivo tale che (condizione ).


: se è aperta, allora è un aperto, e siccome per linearità, allora e deve esistere tale che , cioè vale 2.


: Viceversa, supponendo che valga 2, mostro che se è aperto in , allora è aperto in . Considero , e cerco un intorno di questo punto contenuto in . Si avrà

ma è un aperto, allora esiste tale che , e quindi
quindi
allora per la condizione 2 e quindi è un intorno aperto di .


PASSO 2: mostro che per ogni fissato esiste tale che .


Fisso e considero , affermo che , infatti prese

Inoltre

Allora
quindi a maggior ragione
dove l'ultimo passaggio vale perché la moltiplicazione per è un omeomorfismo, e anche per il fatto che se è continua .


Siccome questa è un'unione di chiusi, per la conseguenza del teorema di Baire, deve esistere tale che . Allora

ma contiene lo 0 ed è aperto, perché

e i sono aperti essendo i traslati di un aperto, quindi è un intorno aperto dell'origine, e deve esistere tale che , e quindi per la catena di inclusioni precedente .


PASSO 3: Ora mostro la condizione che per il primo passo è equivalente alla tesi. Fisso , e applichiamo il passo 2 a , cioè esiste tale che . Mostriamo che il passo 2 implica che .


Fisso e cerco tale che .


Pongo , e sia una successione di numeri reali positivi tali che

Per il passo 2, per ogni esiste tale che e tali che

Considero (cioè in infatti ). Esiste tale che

infatti è arbitrariamente vicino a . cioè , e siccome , allora .


Ripetendo il ragionamento precedente, siccome è arbitrariamente vicino a esiste tale che

Per induzione, ho costruito una successione tale che , e

ma per linearità di l'ultima condizione si riscrive come:

Poniamo , e mostro che è di Cauchy (siccome è di Banach da questo seguirà che converge).

ma per costruzione ogni appartiene alla bolla di raggio , quindi
e quest'ultima somma tende a 0 perché per costruzione la serie degli è convergente.


Allora , e mostro che . Osservo che

per continuità di , e sostituendo l'espressione degli :
infatti .


Poi mostro che .

infatti e la somma degli altri termini è .

 


Osservazione 6.3

La completezza di viene usata nel passo 1, dicendo che è unione di aperti e applicando il teorema di Baire.

 

Alcuni corollari

Corollario 6.4

Nelle stesse ipotesi ( di Banach, lineare continua e suriettiva), se è anche iniettiva, allora è lineare e continua, quindi è un omeomorfismo lineare.

 
Dimostrazione

Per il teorema dell'applicazione è aperta, inoltre è iniettiva quindi esiste lineare. Per verificarne la continuità, sia aperto in , allora

che è aperto in , quindi è continua.

 


Corollario 6.5

Nelle ipotesi precedenti, esistono tali che per ogni

(la disuguaglianza di destra traduce la continuità di , e quella di sinistra traduce la continuità di .)

 

Siccome ogni è immagine di un unico per l'iniettività di definisco come la norma dell'unico di cui è immagine.

Teorema del grafico chiuso

Dati due spazi topologici e , il grafico di è


Lemma 6.3

Se è di Hausdorf e è continua, allora il suo grafico è chiuso.

 
Dimostrazione

Basta mostrare che il complementare del grafico è aperto. Considero non appartenente al grafico, cioè tale che .


Allora, essendo di Hausdorf, esistono aperti tali che e . Siccome è continua, esiste tale che . è un intorno di , ed è disgiunto dal grafico. Infatti, supponiamo per assurdo che esiste , allora , ma d'altra parte , quindi , e si ha un assurdo perché quindi non si può avere contemporaneamente e .

 


Non vale il viceversa, ad esempio se considero un'iperbole che in 0 vale 0, si ha che la funzione non è continua anche se il grafico è un chiuso di .


Teorema 6.10

Siano di Banach, lineare, con grafico chiuso. Allora è continua.

 


è uno spazio vettoriale con le operazioni fatte componenti per componenti. Si introduce la norma , che verifica le seguenti proprietà:

  1. dati e :
    e per subadditività delle norme:


Suppongo di avere una successione di Cauchy, tale che per ogni esiste tale che per ogni

Questa condizione implica
cioè le successioni e sono di Cauchy, e per la completezza di e si ha e : quindi infatti Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \|(x_n,y_n)-(x,y)\| = \|x_n-x\\|_X+\|y_n-y\|_Y \to 0} perché i due addendi tendono a 0.


Data lineare, il suo grafico è un sottospazio vettoriale di . Mostro ad esempio la chiusura rispetto alla somma:

e quindi la somma di due punti del grafico appartiene al grafico.


Dimostrazione

Chiamo le proiezioni su e : esse sono lineari e continue. è un sottospazio vettoriale chiuso, quindi è di Banach, e anche è Banach.


è lineare, continua, e suriettiva. Inoltre è iniettiva, quindi per il teorema dell'applicazione aperta l'inversa è continua. è composizione di funzioni coninue, infatti , infatti . Quindi è continua.

 

Essenzialità della completezza di X

Sia , insieme delle funzioni continue e tali che esiste ed è continua. Definisco la norma

Sia poi con la norma del sup. Sia tale che .


Si può mostrare che:

  1. è lineare.
  2. è chiuso, infatti considero una successione di funzioni che convergono uniformemente ad una certa , allora per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata si ha con con la norma del sup.
  3. non è continua, infatti considero ad esempio . Si ha che
    Quindi
    ma se scelgo quindi è discontinua.


In conclusione è chiuso e non è continuo, per non contraddire il teorema del grafico chiuso si deve avere che non è Banach, quindi nella dimostrazione del teorema del grafico chiuso la completezza di è necessaria.


Esercizio 6.2

Mostrare che lo spazio con la norma 2 non è completo.

 
Dimostrazione

Considero l'identità da a . L'identità è continua infatti

Inoltre è di Banach, e se fosse continua, esisterebbe una costante positiva tale che
ma questo non è vero, infatti si possono considerare successioni con un sup grande ma con integrale piccolo ("esempi delle funzioni a triangolo di base e altezza "). Segue che non è di Banach.

 


Con un ragionameno analogo si mostra che non è uno spazio di Banach.


I completamenti di questi spazi sono e .

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