Dimostrazione del teorema nel caso mu(X) finito

Definizione del funzionale T

Dimostriamo il teorema nel caso finito.


Sia l'insieme delle funzioni misurabili e semplici (cioè combinazione lineare di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili).


Essendo tra gli spazi valgono le inclusioni se .


Affermo che vale la seguente catena di inclusioni: . Infatti in particolare le funzioni semplici e misurabili sono limitate, e quindi stanno in .


Inoltre, presa una funzione in , allora ho una successione di funzioni semplici che converge uniformemente a questa funzione, cioè è denso in . Inoltre tutte le funzioni misurabili, semplici il cui supporto ha misura finita, sono dense negli .


Fisso , e ne determino il duale: se con coniugati, allora posso considerare la funzione che ad ogni associa .


Osservo che:

  • è lineare: infatti per la linearità dell'integrale

  • è continuo: infatti, ricordando la norma introdotta sul duale:

e si ha
e applicando Hoelder:
quindi, avendo norma finita ed essendo lineare, è continua in 0, questo implica che è continua ovunque sempre per la linearità di .

Caso di funzioni indicatrici

SIA Errore del parser (funzione sconosciuta '\PHI'): {\displaystyle \PHI \IN (L^P)^\AST} , ALLORA CERCO Errore del parser (funzione sconosciuta '\IN'): {\displaystyle G \IN L^Q} CHE RAPPRESENTA Errore del parser (funzione sconosciuta '\PHI'): {\displaystyle \PHI} ( sta nel duale quindi è un funzionale lineare continuo ).


Prendo il generico insieme misurabile, considero la sua funzione caratteristica che sta in , e considero , e pongo .


Mostro che è una misura:

Passo 1
è finitamente additiva, infatti presi disgiunti, allora

Allora

Passo 2
è -additiva, cioè se e per misurabili, allora

Pongo e allora siccome i due insiemi sono disgiunti:
cioè

Osservo che per :

infatti

Allora in ,

e siccome per ipotesi è un funzionale lineare e continuo
cioè tenendo conto delle espressioni degli segue la -additività di .

passo 3
è assolutamente continua rispetto a . Infatti, se un sottoinsieme ha -misura 0, allora

quindi e siccome è lineare, cioè quindi è assolutamente continua rispetto a .

Segue che per il teorema di Radom-Nikolin esiste tale che per ogni insieme misurabile,

Abbiamo mostrato che per ogni , con .

Caso di funzioni generiche

Mostriamo ora che per ogni

, in questo modo si può infatti dedurre che al funzionale si può associare .


Abbiamo già dimostrato la formula 1 per le funzioni caratteristiche, e per linearità posso affermare che data semplice

e la formula 1 vale anche su (infatti se , ).


Mostro la formula per gli spazi :


SOTTOCASO 1: . In questo caso per Radom-Nikolim si ha con , mentre vogliamo mostrare che . Allora applico il teorema delle medie per mostrare che , e che coincide con .


Dato un funzionale lineare e continuo , allora . Quindi

cioè
allora per ogni con misura positiva, la media appartiene a una circonferenza, allora per il teorema delle medie
Allora
quindi . Inoltre i funzionali e coincidono su per il punto precedente, e siccome è denso in , coincidono anche su , inoltre per Hoelder , e siccome valgono le due disuguaglianze, , cioè a ogni funzione in si può associare che la rappresenti.


SOTTOCASO 2: . Per quanto dettto prima, possiamo scrivere per ogni , con .


Sia , allora gli sono misurabili e crescenti. Introduco la funzione misurabile di modulo 1 e tale che . Pongo , allora posso usare la rappresentazione di su funzioni di e scrivere:

Osservo poi che

ma , quindi
cioè ho mostrato che su e coincidono. Quindi sostituendo con nel secondo membro della formula 2 ottengo:
e dividendo per ottengo
cioè
e siccome gli sono crescenti, allora applico il teorema di convergenza monotona e ottengo
cioè .

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