Caratterizzazione del duale degli spazi L^p

Enunciato

Teorema 6.1

Sia uno spazio di misura, con misura positiva e -finito. Allora il duale di è , con coniugati.

 


Nel caso di , abbiamo già dimostrato che il duale di è lo spazio stesso (infatti è di Hilbert e vale il teorema di Riesz). Questo in realtà è un caso particolare di quanto avviene in generale per gli spazi , perché 2 ha come coniugato se stesso.

Prerequisiti per la dimostrazione

Definizione 6.1

Dato uno spazio di misura , esso è -finito se con , e tali che .

 


Ad esempio con la misura di Lebesgue è -finito essendo unione di bolle.


Si può sempre supporre che gli tali che siano disgiunti, definendo


Definizione 6.2

Date due misure , dico che è assolutamente continua rispetto a se implica dove è misurabile.

 


Esempio 6.1

Misure assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue sono quelle della forma

oppure le misure che si ottengono moltiplicando la misura di Lebesgue per una costante.

 


In generale vale il seguente


Teorema 6.2

Se è assolutamente continua rispetto a , allora esiste tale che per ogni

 


Per la dimostrazione del teorema sul duale sono necessari anche i seguenti risultati:

  1. Se è misurabile, allora esiste una funzione misurabile di modulo 1 e tale che (basta prendere ).
  2. se è finita, e è un chiuso di e le medie appartengono a per ogni tale che , allora q.o..
  3. se è misurabile e positiva, allora esiste una successione di funzioni semplici che sono crescenti e convergono puntualmente alla funzione . Inoltre se è limitata, allora la convergenza delle è uniforme.
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