Applicazioni del principio di limitatezza uniforme

Applicazione 1 Banach-Steinhaus

Osservazione 6.2

Considero la successione , tale che , allora

quindi il limite puntuale di funzioni continue non è necessariamente continuo.

 


Teorema 6.7

Sia uno spazio di Banach e normato, sia una successione di funzioni lineari e continue, con , e supponiamo che per ogni , la successione sia convergente. Detta tale che , segue che è lineare e continua e è limitato.

 
Dimostrazione

è lineare, infatti

e siccome il limite esiste applico il teorema del limite della somma:

Affermo che esiste positiva tale che per ogni , : infatti applicando il principio di limitatezza uniforme, si verifica necessariamente questa possibilità perché la seconda alternativa è esclusa per l'ipotesi che converge (infatti se questo avviene il sup delle norme non può essere ).


Mostro che è continua: devo verificare che è limitata:

dove l'ultimo passaggio vale per come è definita la norma di un'applicazione lineare. Ma siccome sto consoderando , quindi
ma per quanto detto prima, e è limitata perché , quindi è continua.

 

Conseguenze

Teorema 6.8

Considero una successione reale e due indici coniugati, cioè tali che , e supponiamo che la serie

converge per ogni e appartenente a . Allora .

 
Dimostrazione

Sia lineare tale che . Si può mostrare che è lineare e continua, e valutare . Per ogni ,

è lineare e converge e quindi si può applicare Banach-Steinhaus, da cui segue che è continua. Allora , e dato un elemento nel duale, esiste uno e un solo elemento che lo rappresenta.

 

Applicazione 2 serie di Fourier

Considero insieme delle funzioni continue, con la norma del sup. Allora è uno spazio di Banach. Definendo i coefficienti

la serie di Fourier di è data da

Si ha anche che

La funzione è detta nucleo di Dirichlet.

e per un lemma dimostrato precedentemente:
è continua e pari.


In definitiva

in particolare
e siccome è pari:
dove è la funzione che associa a una funzione la somma parziale ridotta della sua serie di Fourier traslata nell'origine, ed è lineare. Inoltre è continua.


Mostro che non converge puntualmente.

quindi

Mostro che per , . Si può dimostrare che su un denso, allora la serie di Fourier non può convergere. è uno spazio di Banach e non ha punti isolati, quindi un denso deve avere una cardinalità superiore al numerabile.

e siccome è una funzione pari:
Il seno è sempre maggiore dell'arco, quindi
e ponendo :
e minorando il denominatore:
e quindi la serie diverge per . Quindi .

Mostro che vale l'uguaglianza . Da questo segue che la famiglia degli non è equilimitata, e quindi deve esistere un denso tale che per ogni funzione nel , la serie di Fourier di nell'origine non converge.


Per mostrare l'uguaglianza, è necessario studiare il segno di

Siccome è pari, studio solo il segno per e in particolare studio il segno del numeratore:
quindi

  1. Per , il nucleo si annulla solo in (infatti il valore successivo è fuori dall'intervallo).
  2. Per , gli zeri sono , e i punti successivi non rientrano nell'intervallo.
  3. Per , gli zeri sono .


Considero la funzione

(Ad esempio, nel caso , siccome è inizialmente positivo per , segue che è positiva tra e , è negativa tra e e positiva dopo .)


Esiste una successione di funzioni continue di norma minore o uguale a 1, tali che

Inoltre
e per il teorema di convergenza dominata, siccome :

Possiamo concludere che esiste denso tale che per ogni , non è vero che converge.


In realtà, la scelta di serviva solo per semplificare i conti. Si ha però che per ogni , esiste un insieme denso tale che per ogni in questo insieme, .


Considero una successione densa in , allora per ogni esiste tale che per ogni la serie non converge in . Considero l'intersezione

ogni è un denso, quindi anche , che è un'intersezione numerabile di aperti densi, è denso per il teorema di Baire.
Come funzione di , è continua. Allora
è un , perché è semicontinua inferiormente in , ed è anche denso perché intersezione di aperti densi.


Conclusione: Esistono denso e denso tali che per ogni e per ogni , allora la serie di Fourier .

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