Operazioni binarie

Proprietà generali di operazioni binarie su un insieme X

Definizione

Un' operazione binaria sull'insieme per definizione è un'applicazione , che a ogni coppia di elementi , cioè a ogni coppia ordinata , associa uno e un solo elemento di , definito come .


Proprietà associativa: Un'operazione binaria è associativa se per ogni se . In questa situazione possiamo scrivere senza usare le parentesi.


Si può dedurre la proprietà associativa generalizzata: se vale la proprietà associativa per terne, allora per induzione su vale la proprietà associativa generalizzata produce lo stesso risultato indipendentemente dalle parentesi (provarlo per esercizio).


Proprietà commutativa: per ogni , .

 


Esercizio

Si svolge l'esercizio citato nella definizione di cui sopra. Sappiamo che la proprietà associativa è valida per .


Passo induttivo: Supponiamo vera la proprietà per , , e la dimostriamo per .


Per il passo indutivo sappiamo che , allora possiamo scrivere

Si ritorna nel caso e quindi la proprietà associativa è valida.

 

Unità destra, sinistra e bilatera

Definizione

Un elemento si dice unità sinistra rispetto a se per ogni , .


Un elemento si dice unità destra se .


si dice unità bilatera se .

 


Proposizione

Se esistono un'unità sinistra e un'unità destra rispetto a , allora

  1. .
  2. è l'unica unità sinistra;
  3. è l'unica unità destra;
  4. è l'unica unità bilatera.
 
Dimostrazione
  1. () Basta considerare per le definizioni scritte prima.
  2. ( è l'unica unità sinistra) Supponiamo che sia un'altra unità sinistra. allora per il punto 1 , quindi
 

Inverso sinistro, destro e bilatero

Definizione

Sia un'operazione binaria con unità . Allora

  1. un elemento si dice inverso sinistro di se
  2. un elemento si dice inverso destro di un elemento se
  3. un elemento si dice inverso bilatero di se
 


Nel caso valga la proprietà associativa, l'esistenza di un'inversa sinistra e di un'inversa destra implica che queste coincidono e siano inverse bilatere.


Proposizione

Se per esistono un'inversa sinistra e un inverso destro e inoltre è associativa, allora:

  1. è inverso bilatero di
  2. è l'unico inverso sinistro e è l'unico inverso destro e è l'unico inverso bilatero.
 


Dimostrazione

Posso scrivere , ma siccome l'operazione è associativa, questo è uguale a . Il primo termine . Quindi segue che

Si può dimostrare l'unicità.

 

Insieme chiuso rispetto a un'operazione

Definizione

Sia un'operazione binaria definita su . Un sottoinsieme non vuoto di si dice chiuso rispetto a se per ogni , , cioè .


Se ho un sottoinsieme chiuso, si può definire la restrizione di a , cioè l'applicazione, indicata con tale che , .

 


Osservazione

Ogni proprietà di tipo equazionale di sugli elementi di si eredita alla restrizione .

 


Ad esempio, preso l'insieme degli insiemi relativi e l'insieme dei naturali, la somma definita in a valori in è ancora associativa, ma mentre in c'è l'unità rispetto alla somma, l'unità non è un numero naturale. Preso un numero relativo, esso ha l'inverso rispetto alla somma, ma non vale lo stesso per i naturali. In solo e ha inverso rispetto al prodotto.


In ogni numero ha inverso rispetto al prodotto, ma restringendo l'operazione a questo non avviene.

Operazioni binarie esterne

Definizione

Dati due insiemi e non vuoti e sia , che associa alla coppia ordinata un unico elemento di . In questo caso si dice che opera o agisce su .

 


Definizione

Una struttura algebrica in generale è data da un insieme non vuoto nel quale si definiscono una o più operazioni , con (operazioni n-arie), e eventualmente operazioni esterne .

 


Definizione

Due strutture algebriche si possono ritenere isomorfe o equivalenti quando si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi e una corrispondenza opportuna tra le rispettive operazioni.

 
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