Operazioni

Un'operazione binaria è un'applicazione su ogni coppia di interi. Unione e intersezione possono essere considerate come operazioni interne binarie definite sull'insieme delle parti

Una struttura algebrica è un insieme non vuoto sul quale sono definite una o più operazioni binarie, che a ogni coppia di elementi dell'insieme associano un'altro elemento dell'insieme univocamente determinato. Un esempio di operazione esterna è il prodotto scalare per vettore, che coinvolge anche insiemi esterni.


La terna , data dall'insieme non vuoto delle parti di U nel quale sono definite le operazioni unione e intersezione, è una struttura algebrica.

Proprietà formali di somma e intersezione

Unione e intersezione operazioni hanno alcune proprietà formali:

  1. , cioè l'operazione di unione è commutativa. Analogamente
  2. Se , (proprietà associativa). Analogamente
  3. per ogni A e B, , e (proprietà di assorbimento)
  4. presi tre insiemi , allora (proprietà distributiva), analogamente ;

Una struttura algebrica nella quale le operazioni soddisfano queste proprietà si chiama reticolo distributivo (netice).


Quindi l'insieme delle parti con queste proprietà si dice reticolo distributivo.

Elementi neutri

, cioè se compongo l'insieme vuoto con un qualsiasi insieme di U ottengo l'elemento preso.

L'elemento è l'elemento neutro rispetto all'unione (chiamato 0 del reticolo).


Si ha , quindi l'insieme universo è l'elemento neutro rispetto all'intersezione (chiamato 1 del reticolo).


L'elemento neutro rispetto a un'operazione è unico.

Complementazione

Nel reticolo si può introdurre un'operazione unaria, che a un elemento dell'insieme U ne associa un altro univocamente determinato. Questa operazione è la complementazione e ad ogni insieme A associa il complementare, cioè l'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non stanno in A. si chiama complemento di U. Anche questa operazione ha proprietà formali:


.


Definizione

In generale un insieme non vuoto con due operazioni binarie soddisfacenti le proprietà formali di unione e intersezione e un'operazione unaria con le proprietà della complementazione si chiama algebra di Boole.

 

Nelle proprietà commutativa, associativa, unione e intersezione hanno un ruolo duale.

Provare che valgono le proprietà distributive equivale a provare che e viceversa. Le prime tre coppie di assiomi includono il principio di dualità.


Esercizio

Si possono legare unioni e intersezione con le proprietà di assorbimento. Per legare la complementazione alle operazioni precedenti si usano le leggi

  1. . Il complemento dell'intersezione è uguale all'unione dei complementi.
  2. (per il teorema duale)
 

Unione e intersezione di più insiemi

Nell'insieme universo prendiamo una collezione di insiemi qualsiasi: . Allora è necessario definire l'unione di tutti gli , cioè

Analogamente

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