Lemma di Zorn

Questo enunciato è equivalente all'assioma della scelta.

Insieme induttivo

Definizione

Sia un insieme non vuoto ordinato (munito di una relazione d'ordine , riflessiva simmetrica e transitiva). Allora si dice induttivo se ogni sottoinsieme totalmente ordinato (o catena) ammette estremo superiore (esiste il minimo dei maggioranti degli elementi di ). Quindi e se , allora .

 


Definizione

Un elemento si dice massimale rispetto alla relazione d'ordine se non esiste alcun elemento diverso da tale che sia . Equivalentemente, si dice massimale se per ogni tale che , x coincide con .

 



Lemma di Zorn: Ogni che sia induttivo ammette almeno un elemento massimale.

Versione insiemistica del lemma di Zorn

Sia una collezione non vuota di sottoinsiemi non vuoti di un fissato insieme , ordinato rispetto all'inclusione. In altre parole, si considera l'insieme ordinato dove è la relazione di inclusione fra gli elementi della collezione . Si supponga induttivo: questo significa che se prendo una qualsiasi collezione di elementi di , l'unione insiemistica sta ancora in ; per ogni sottoinsieme della collezione , che sia totalmente ordinato, esso ammette un estremo superiore. Rispetto alla relazione di inclusione insiemistica, l'estremo superiore è l'unione di tutti gli . L'estremo superiore dev'essere contenuto in .


Se queste ipotesi sono soddisfatte, ammette un elemento massimale.

Assioma della scelta

Si potrebbe provare che in (teoria degli insiemi secondo Zermeno-Frainkley) il lemma di Zorn è equivalente al cosiddetto assioma della scelta.

Ipotesi del continuo: Fra i numerabili e il continuo non esiste nessuna cardinalità intermedia.


Assioma della scelta: Sia un insieme non vuoto. Allora esiste una funzione tale che per ogni sia . (a ogni sottoinsieme non vuoto di S la funzione associa un elemento di tale insieme, che si può scegliere). si chiama funzione di scelta.

Famiglia

Definizione

Siano e due insiemi non vuoti. Allora un'applicazione si dice famiglia di elementi di , (con insieme di indici) e si denota con , dove è l'immagine mediante dell'indice .

 



Ad esempio, se , allora la nozione di famiglia coincide con la nozione di successione degli elementi.


Sia una collezione non vuota di insiemi e sia una famiglia di insiemi con insieme di indici . Allora si definiscono in modo naturale l'intersezione e unione degli insiemi .


Supponiamo che i sottoinsiemi non siano tutti vuoti e poniamo . Allora possiamo definire la nozione di prodotto cartesiano degli elementi della famiglia.

Definizione

Si dice prodotto cartesiano della famiglia e si denota l'insieme delle famiglie di elementi di tali che per ogni , . Se anche uno solo degli insiemi è vuoto, il prodotto cartesiano è vuoto.

 



Assioma (equivalente all'assioma della scelta): Se per ogni l'insieme , allora è diverso dall'insieme vuoto.

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