Equazioni diofantee

Interi coprimi

Definizione

e si dicono coprimi o relativamente primi se .

 


Osservazione

e sono coprimi se e solo se esistono interi con .

 


Dimostrazione

: Se , se e sono coprimi, allora per definizione , e per l'identità di Bezout, esistono tali che

: viceversa, se esistono tali che , allora , e quindi divide la combinazione lineare quindi , cioè .

 

Equazioni diofantee

Definizione

Siano interi, l'equazione con interi si chiama equazione diofantea.

 


Quando l'equazione diofantea ha soluzioni, e con l'algoritmo di euclide si trovano che la risolvono.


Regola 1: Se , ed è uguale a , allora le soluzioni di moltiplicate per risolvono .


Regola 2: se il membro di destra è dispari e quello di sinistra è pari, l'equazione non può avere soluzioni.


Teorema

Siano interi non entrambi nulli. L'equazione , ha soluzioni se e solo se divide . Se ha soluzioni , allora tutte e sole le soluzioni sono della forma

 


Dimostrazione

Sia e suppongo che l'equazione ammette una soluzione . Poiché si ha .


Viceversa, suppongo che divida , allora:

Dall'Identità di Bezout, segue che esistono due interi e tali che valga:
Quindi la coppia è soluzione di .

 
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