Divisione

Definizione

Sia un numero intero, allora il modulo di è se è positivo e se è negativo.

 


Teorema

Siano due interi con , allora esistono tali che

si chiama quoziente della divisione e si chiama resto della divisione.

 


Dimostrazione

CASO 1: POSITIVO. Supponiamo che sia positivo, e sia

, non è vuoto perché sto assumendo che sia non negativo e quindi per appartiene a .


Per il principio del buon ordinamento, dato un sottoinsieme non vuoto di , esso ha un minimo. Sia il minimo di , allora , cioè per un certo , e pongo . Da qui segue che .


Inoltre, perché . Se per assurdo , allora segue che

  1. Se , si ottiene

  1. se , si ottiene invece

e in entrambi i casi, , e questo è assurdo perché è minimo di , quindi necessariamente .


CASO 2: NEGATIVO. Segue che è positivo, allora si ritorna nel caso precedente e si può quindi scrivere

Divido ancora in due casi:

  1. se , sommo e sottraggo :

e quindi il retso è compreso tra 0 e .

  1. se ,

e .

 


Proposizione

Tali e sono unici.

 


Dimostrazione

Supponiamo che

Da si ha
A destra ho un multiplo di , quindi anche a sinistra dev'esserci un multiplo di . Siccome il membro di sinistra è ingabbiato fra e , l'unica possibilità è che sia , cioè , da cui .

 
Successivo