Dimostrazione del teorema spettrale

Lemma 18.1

Sia uno spazio vettoriale euclideo. Sia lineare e autoaggiunta per . Sia in un sottospazio vettoriale invariante per , ossia . Sia il complemento ortogonale di rispetto a (siccome è definito positivo, allora Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \\mathrm{dim} V=\mathrm{dim} W+\mathrm{dim} W^\perp} ). Allora anche è invariante per , cioè .

 


Dimostrazione 18.2

Dobbiamo dimostrare che per ogni anche , ossia che .


Sia quindi così che . Allora si ha . Ma anche perché è invariante per . Segue la tesi. cvd

 



Enunciato: Sia uno spazio vettoriale euclideo, di dimensione , e sia simmetrica o autoaggiunta per . Allora esiste una base che è ortonormale per e composta da autovettori di .


Dimostrazione 18.3

Bisogna prima dimostrare che il polinomio caratteristico di ha radici reali contate con la rispettiva molteplicità algebrica, ovvero che

con
e dove gli sono numeri reali (questo nel campo complesso è sempre vero).


Sia una qualsiasi base di , ortonormale per . Allora sia la matrice di in questa base. Siccome la base è ortonormale per e è autoaggiunta, allora è una matrice simmetrica.


Il polinomio caratteristico di è il polinomio caratteristico di , perché si può prendere la matrice che rappresenta in qualsiasi base.


Sia una qualsiasi radice complessa di . Dimostro che in realtà è una radice reale.


Per ipotesi esiste ed esiste tale che . Quindi passando ai coniugati ottengo ma siccome è reale quindi ottengo .


Se calcolo

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle = \eta*(x_1*\bar x_1\+x_d*\bar x_d) = \eta(|x_1|^2+\dots+ |x_2|^2) > 0.} Ma si ha anche
Poiché è autoaggiunta, i primi membri di queste ultime due relazioni sono uguali, quindi si ha , ma siccome la somma dei moduli è diversa da 0, allora , ossia è un numero reale perché è uguale al suo coniugato.


Concludiamo che tutte le radici complesse di sono in realtà numeri reali.

 



Dimostrazione 18.4

Osserviamo che il teorema spettrale è ovvio se .


Supponiamo e che l'asserto sia vero in dimensioni minori di .


Sia come sopra, simmetrica per . Allora per quanto visto tutte le radici del polinomio caratteristico di sono reali. In particolare esiste tale che e quindi è un autovalore di . Allora sia un autovettore corrispondente a , con e . Allora senza perdita di generalità, sostituendo v con possiamo supporre senzaperdita di generalità che . Infatti, se così non fosse, sostituisco con . Chiamo lo span di . Allora se , , allora

perché è invariante per .


Consideriamo il complemento ortogonale per questo sottospazio, che chiamo . Per quanto visto, dato , perché è invariante per . D'altra parte, se consideriamo la restrizione di a , allora è ancora un prodotto scalare (bilineare e simmetrico) definito positivo. Infatti se prendo un qualsiasi elemento non nullo, , allora .


è definito positivo, pertanto la coppia è uno spazio euclideo di dimensione ( è il complemento ortogonale di uno spazio di dimensione 1).


Siccome definisce per restrizione una funzione lineare.


Segue che

quindi è simmetrica rispetto a .


Allora per l'ipotesi induttiva applicata allo spazio vettoriale euclideo di dimensione , esiste una base di che è ortonormale per , e composta da autovettori di , ovvero e per certi .


Se ora poniamo (dove è il vettore di norma 1 considerato prima), ricaviamo la base , infatti i vettori sono linearmente indipendenti perché i due sottospazi sono in somma diretta.


Inoltre, abbiamo che per e per definizione di complemento ortogonale e per supposizione. Quindi quindi è una base di ortonormale per .


Infine, per e per la scelta di e quindi la base è composta da autovettori di . Questo completa il passo induttivo e anche il corso di algebra lineare!

 
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