dimensione dello spazio quoziente

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale su . Diciamo la dimensione di . Sia in un sottospazio vettoriale. Se pongo , allora e' sicuramente minore o uguale di e vale l'uguale se e solo se .


Ci chiediamo quale sia la dimensione del sottospazio vettoriale .


Valuto i due casi particolari seguenti.

Caso 1 W=V

In questo caso due qualsiasi vettori sono sempre equivalenti.


In particolare qualsiasi vettore e' equivalente al vettore nullo, perche' poiché . Allora per ogni . Quindi e' lo spazio nullo e comprende solo la classe .

Caso 2 W consiste del solo vettore nullo

Partiamo da una base di . Siano le classi di equivalenza dei vettori della base.


Sia un qualsiasi elemento di . Allora esiste tale che . Posso scrivere come combinazione lineare dei . Esistono tali che

Osservo che

appartiene a .


Mostro che sono linearmente indipendenti: siano tali che

Usando la definizione di somma a ritroso si ha
Allora appartiene a , Ma consiste del solo elemento neutro.


Questo vuol dire che , ma siccome i sono per ipotesi una base di , allora sono linearmente indipendenti e gli scalari sono necessariamente tutti nulli.


Quindi anche sono linearmente indipendenti.


Pertanto se e' 0, allora .

Caso generale

In generale vale il seguente teorema:



Teorema 8.1

Nelle ipotesi precedenti ( finitodimensionale, sottospazio vettoriale) segue che .

 



Dimostrazione 8.2

Sia la dimensione di e la dimensione di .


Eliminando i casi già dimostrati, possiamo supporre .


Sia una base di . Per il teorema della base incompleta, esistono tali che e' una base di .


Sia un qualsiasi elemento di e sia .


Esistono e sono unici tali che

Allora
Si ha quindi
Si ha allora

Quindi ha un sistema di generatori, e se e solo se sono linearmente indipendenti.


Siano tali che

Usando la definizione di somma riscrivo la relazione:
e questo implica che , allora esistono tali che
Questo implica che
I vettori son una base di , quindi gli scalari sono tutti nulli. concludo che e' una base di perché la relazione vale solo se gli scalari sono nulli e quindi i vettori sono linearmente indipendenti, e quindi .


cvd

 
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