Operazioni nello spazio quoziente

Considero quindi la relazione tale che la classe di equivalenza di e' l'insieme dei traslati . Denotiamo con (anziche' ) l'insieme quoziente di tale relazione di equivalenza (insieme di tutte le classi di equivalenza).


Affermo che sull'insieme quoziente esiste una struttura naturale di spazio vettoriale: descriviamo le operazioni.

somma

Siano e elementi dell'insieme quoziente. Si ha che per certi . Definisco l'operazione somma da a valori in ponendo .


Problema: La somma tale che deve dipendere solo da e , e non dalla scelta di particolari con .


Dobbiamo quindi verificare che la classe di equivalenza di non dipende dalla scelta di e .


Sia quindi e . Ci chiediamo se la classe di equivalenza di e' uguale alla classe di equivalenza di .


e , perche' sono coppie ordinate con due vettori appartenenti alla stessa classe di equivalenza, allora , . Pertanto la somma appartiene a essendo differenza di due elementi di .


La coppia ordinata , quindi

L'operazione e' ben definita come funzione, perche' non dipende dalla scelta dei e , ma da e .


La somma soddisfa tutte le proprieta' usuali.



Esercizio 8.1

Verificare tutte le proprieta' della somma.

 
associativita'
Se ho , . Uso la definizione: . . Quello che e' dentro la parentesi quadra e' appartenenete allo spazio vettoriale. . Uso la definizione di somma in . . Questo equivale a
elemento neutro
Lo zero di e' la classe di equivalenza di 0 e di qualsiasi elemento di .
opposto
commutativita'
Se ho due elementi e , . Per la definizione di somma . Per la definizione di somma in si ha che e quindi usando la definizione di somma nello spazio quoziente a ritroso ottengo che .

prodotto per uno scalare

Se definiamo . Questa e' un'applicazione da a valori in . Se , questo significa che , quindi allora la coppia e segue che . Quindi l'operazione e' ben definita.


Per quest'operazione valgono tutte le proprietà consuete.

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