omomorfismo

Lo spazio V W

Definizione 14.1

Si definisce l'insieme delle funzioni lineari , con e spazi vettoriali.

 



Osservazione 14.1

perche' e' definito ponendo . per ogni e' lineare. (almeno l'elemento banale esiste sempre)

 


Se e , con compresi tra 1 e , e se e' una base fissata di , allora per ogni sappiamo che esiste unica tale che , per ogni .

Quindi se fissiamo una base di , allora esiste una corrispondenza biunivoca naturale da in che manda in .


Definiamo le operazioni su , in particolare, definiamo la somma e il prodotto ponendo

per ogni e .


Verifichiamo che le definizioni siano ben poste, e quindi che e siano lineari da in , e quindi appartengano ancora a :


Dimostrazione 14.1
  1. : siano e siano e .Allora
    per la linearità di e :
    Uso la definizione di somma:
    per ogni e .Allora , essendo lineare, e in modo analogo si dimostra che anche . cvd
  2. : sia allora
    e sfruttando la linearità di :
    Uso la definizione di prodotto.
    Quindi anche e' lineare.

cvd

 


Si può verificare che è uno spazio vettoriale.

Lo spazio delle matrici cXd

Per determinare la dimensione di è necessario introdurre lo spazio delle matrici e definire alcune operazioni su di esso.


Siano (la matrice con componenti ) e appartenenti a con e . Definiamo

  1. la somma ; in particolare la somma tra matrici e' commutativa e associativa, ha lo zero come elemento neutro e l'opposto di una matrice è ;
  2. dato , definisco la moltiplicazione per uno scalare ponendo


Osserviamo in particolare che vale la distributivita' rispetto agli scalari:


Lo spazio ha dimensione , infatti una base di questo spazio puo' essere costituita da tutte le matrici , per e , dove ha tutte le componenti nulle tranne .


Per ogni k, l con e una matrice appartenente a definita ponendo:


Mostriamo che è una base di . Consideriamo il caso in cui , e sia

Posso esprimerla come la somma di quattro matrici:
Porto fuori :
e quindi ogni matrice può essere scritta come combinazione degli elementi della base .


In generale, se per lo stesso argomento

allora
e' un sistema di generatori per . Quindi e' una base. Pertanto la dimensione dello spazio delle matrici e' .

Dimensione di V W

Siano e spazi vettoriali con e . Sia una base di e sia una base di . Per ogni appartenente a la matrice appartiene a . Abbiamo quindi una funzione dipendente da e che manda un omomorfismo nella matrice che lo rappresenta rispetto alle basi scelte per e .



Teorema 14.1

La funzione e' un isomorfismo di spazi vettoriali.

 


Dimostrazione 14.2
  1. Si può dimostrare facilmente che è lineare.
  2. Dimostro l'iniettività, e cioè che dove 0 indica lo zero dello spazio delle matrici dove e .Sia ; se suppongo , allora perché dev'essere la matrice nulla.Applico a un generico vettore della forma e ottengo
    ma per quanto detto prima, cioè è l'applicazione nulla e il ker è banale.
  3. Dimostro la suriettività. Per ogni esiste un'unica tale che . Definiamo , dove le sono le entrate di una matrice . Allora e l'applicazione è suriettiva.


cvd

 


Corollario 14.1

La dimensione di e' .

 


Se poi lineare e' tale che , allora

e' una base di .


e' l'unica applicazione lineare tale che .



Esempio 14.1

Sia tale che

Scrivo la matrice associata a :
si puo' scrivere come combinazione degli

 
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