Spazio duale

Spazio duale e funzionali

Se considero il caso particolare , la sua base e' e e' l'insieme delle funzioni lineari , che vengono dette funzionali su . si dice lo spazio duale di e si denota in generale come . La dimensione di e' .

Base dello spazio duale

Fissiamo e definiamo i vettori della base dello spazio duale ponendo

Se e' una base di , la base costruita come sopra, si dice la base di duale alla base .


Verifichiamo esplicitamente che è una base:


Lineare indipendenza: Siano numeri reali tali che

dove e' l'elemento neutro dello spazio duale, cioe' il funzionale identicamente nullo, che vale 0 su tutti i vettori: per ogni si ha
Per come abbiamo definito le operazioni nello spazio, l'espressione sopra equivale a:
e per la definizione dei :
perché l'unico addendo che contribuisce e' quello con . Allora , pertanto abbiamo concluso che i sono linearmente indipendenti, essendo solo se gli scalari sono uguali a 0.


Sistema di generatori: dimostriamo che un qualsiasi funzionale su puo' essere scritto come combinazione dei .


Sia un qualsiasi elemento del duale. Osservo che, poiché :

cioè è combinazione lineare dei .

Considerazioni sulla base duale alla base canonica

Prendo la base canonica di , cioè , e pongo . Applicando il primo vettore al vettore colonna si ha:

(infatti e' uguale a 1 solo se quindi mentre )


Si osserva che e' l'applicazione lineare che a ogni vettore di associa la prima componente. Allo stesso modo, se applico il secondo vettore della base duale al vettore , ottengo la seconda componente.


Inoltre, se prendo un generico elemento del duale, per certi , le sue coordinate nella base duale sono date dai valori assunti da su , , cioe', e .


In generale, se e' la base canonica di e e' la base duale ad essa, allora

e quindi e' il funzionale lineare che manda un vettore nella sua -esima componente. Inoltre, se e' un qualsiasi elemento del duale su , esistono tali che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x_1, \dots, x_d) = a_1*x_1\+a_d*x_d} per ogni . Allora le coordinate di nella base sono date da .


Questo ragionamento vale anche se la base considerata non è quella canonica.



Esempio 14.2

Sia , dove . Prendo la base e la base duale ad essa. Verifico come agisce la funzione sui vettori della base :

Quindi le coordinate di nella base duale sono e si può scrivere:

 
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