Sottospazi annullatori

Definizione ed esempi

Definizione 14.2

Sia uno spazio vettoriale e un suo sottospazio. Il sottospazio annullatore di e' l'insieme di tutti i funzionali lineari su che sono identicamente nulli su . L'annullatore si indica con il simbolo e si puo' definire nei seguenti modi:

 


Prendo un generico e diciamo . Se e' la retta che congiunge l'origine con a. Allora e' l'insieme dei funzionali lineari tali che sono nulli su , e quindi su (ho scritto i funzionali come combinazione degli elementi della base dello spazio duale). In particolare:

  1. se e' il vettore nullo, la condizione e' soddisfatta per ogni scelta di . In questo caso
  2. Se , soddisfa la condizione se e solo se e' perpendicolare ad .Abbiamo che per qualche , quindi
    ed e' un sottospazio di dimensione 1 nello spazio di dimensione 2.


Osservazione 14.2

e' un sottospazio vettoriale di .

 


Osservazione 14.3
  1. L'elemento neutro di e' una funzione lineare identicamente nulla. E' una funzione tale che In particolare, , quindi .
  2. Siano elementi di e . Allora per ogni si ha
    infatti essendo e in e .Siccome questo vale per ogni , allora per ogni scelta di in .Quindi la combinazione lineare di due elementi dell'annullatore vi appartiene.

cvd

 

Dimensione dell'annullatore

Se , l'annullatore di si riduce a . Viceversa se e' lo spazio nullo, allora .


Se , e , allora il sottospazio annullatore di e'



Teorema 14.2

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale e sia in un sottospazio vettoriale. Allora .

 


Dimostrazione 14.3

Notiamo che nei due casi banali esposti sopra la relazione è soddisfatta. Possiamo allora supporre che e . Sia e . Sia una base di . Per il teorema della base estesa, esistono sia una base di .


Consideriamo la base duale. Sia la base di duale a . Allora e' univocamente determinato dalle condizioni: per ; in particolare, per ogni .


Analogamente, in e' univocamente determinato dalle condizioni: e per e per .


Allora per ogni in esistono e sono unici tali che

se e solo se per ogni e quindi per ogni combinazione lineare dei .


Sia allora

per linearita'.


Quindi questo equivale a dire che per ogni j, cioè un funzionale si annulla su se si annulla su tutti gli elementi di una base di .


Se sono come prima, imponiamo che

Il secondo addendo è nullo, mentre il primo e' , quindi l'unico termine con un contributo non nullo e' quello con . Pertanto se e solo se , cioè se e solo se appartiene a . I vettori sono linearmente indipendenti perche' sono parte della base duale, quindi ricavo che la dimensione di e' , cioe' .


cvd

 



Esempio 14.3

Siano non tutti nulli. Sia Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle W=\{(x_1, \dots,x_d) \in \mathbb R^d \, t.c. a_1*x_1\+a_d*x_d=0 \}} La dimensione dell'iperpiano e' , quindi ha dimensione 1.


Osserviamo che, in termini dello spazio duale, e' il ker di Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle a_1*e_1^{\ast}\+a_d*e_d^{\ast}} .

 



Esempio 14.4

Prendo in .


Trovare una base di .

ha dimensione 1 quindi ha dimensione 2.


Devo trovare due funzionali lineari linearmente indipendenti che si annullino su , e quindi che si annullino su .


se e solo se la matrice con colonne e ha rango 1. Quindi riduco a scala la matrice:

Imponendo uguali a 0 le quantità corrispondenti agli ultimi due gradini, la matrice ha rango 1 e si hanno le due equazioni linearmente indipendenti: e . Quindi pertanto
e ho quindi trovato una base di .

 



Esempio 14.5

Sia . Trovare una base dell'annullatore e la sua dimensione.

ha dimensione 2 essendo generato da due vettori linearmente indipendenti. Quindi ha dimensione . Per trovare una base di cerco due funzionali lineari che si annullano su .


se e solo se il rango della matrice con colonne e' 2.


Faccio operazioni per riga sulla matrice:

Ottengo le equazioni: e .
I due funzionali lineari sono linearmente indipendenti, quindi

 

Base dell'annullatore

In generale, supponiamo che e che sia un sottospazio vettoriale -dimensionale. Supponiamo di aver concluso che abbia equazioni cartesiane Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} A_{1,1}*x_1\+A_{1,d}*x_d=0 \\\dots \dots \dots \\ A_{d-c,1}*x_1\+A_{d-c,d}*x_d=0\end{sistema}} espresso in un sistema lineare di equazioni omogenee in incognite.


Equivalentemente questo significa che e' il ker di dove e' l'applicazione che porta in

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}A_{1,1}*x_1\+A_{1,d}*x_d \\ \ldots \\A_{d-c,d}*x_1\+A_{d-c,d}*x_d\end{sistema}} Se il nucleo ha dimensione , con . Allora e' suriettiva e inoltre le righe della matrice che rappresenta sono linearmente indipendenti, inquanto l'applicazione ha rango .

Questo significa che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \phi_1=A_{1,1}*e_1^\ast\+A_{1,d}*e_d^\ast} Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \dots \phi_{d-c,1}=A_{1,d}*e_1^\ast\+A_{d-c,d}*e_d^\ast} sono tutti linearmente indipendenti. e naturalmente appartiene a per ogni poiché ogni si annulla su .


Allora e' una base di .


Procedimento: Per trovare una base di cerco equazioni carteisane di , siano esse Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} A_{1,1}*x_1\+A_{1,d}*x_d=0 \\\dots \dots \dots \\ A_{d-c,1}*x_1\+A_{d-c,d}*x_d=0\end{sistema}} e in esse sostituisco con rispettivamente.

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