Dimensione di spazi vettoriali

Definizione e osservazioni introduttive

Definizione 6.1

Sia uno spazio vettoriale e sia un intero maggiore o uguale di 1. Diremo che ha dimensione se possiede una base di cardinalita' , quindi se ogni base di ha cardinalita' .

 



In altre parole, la dimensione di uno spazio vettoriale e' il numero di vettori in una base.



Osservazione 6.1

Se e' lo spazio nullo, diremo che la dimensione di e' 0.

 



Osservazione 6.2

Se e' la dimensione di , e' il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che possiamo trovare in . e' la lunghezza massima di una stringa di vettori linearmente indipendenti in .

 

Spazio vettoriale finitamente generato

Definizione 6.2

Uno spazio vettoriale si dice finitamente generato se ammette un sistema finito di generatori, ossia se esistono per qualche intero , tali che .

 



In ogni spazio di dimensione finita una base e' un sistema finito di generatori.



Proposizione 6.1

Se e' uno spazio vettoriale finitamente generato, allora ammette una base.

 


Dimostrazione 6.1

E' immediata dalla caratterizzazione delle basi. Sia un sistema finito di generatori ordinati. Scartiamo tutti i e tutti i che sono combinazioni lineari dei precedenti, allora lo l'insieme dei vettori rimanenti con , e' ancora un sistema lineare di generatori.


Ho una stringa di vettori di cui il primo e' non nullo e ho un sistema di generatori di vettori linearmente indipendenti, quindi e' una base.


cvd

 

dimensione di sottospazi vettoriali

Teorema 6.1

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita . Sia in un sottospazio vettoriale. Allora certamente la dimensione di non puo' eccedere quella di () e vale l'uguale se e solo se .

 


Dimostrazione 6.2

Se prendo un numero qualsiasi di vettori in , allora sono linearmente dipendenti / indipendenti in se e solo se sono linearmente dipendenti / indipendenti in , perche' le operazioni di spazio vettoriale in sono quelle di ristrette a . Quindi siccome in non possiamo trovare piu' di vettori linearmente indipendenti, lo stesso dev'essere vero in . Pertanto la dimensione di e' certamente minore o uguale di quella di .


Sia la dimensione di uguale alla dimensione di e supponiamo per assurdo che non sia un sottospazio massimo di . Prendo vettori tali che . Siccome per ipotesi assurda non coincide con , allora esiste tale che . Allora se considero la stringa , sicuramente , non e' combinazione lineare dei precedenti perche' non appartiene a . Questo significa che ho trovato vettori in linearmente indipendenti e il che e' assurdo, perche' per ipotesi ha dimensione . Allora coincide con .


cvd

 



Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita (). Allora se sono elementi di che generano , allora la sequenza ordinata dei e' una base di .

Esercizio determinazione della dimensione di uno spazio vettoriale

Esempio 6.1

Consideriamo insieme dei vettori colonna tali che per opportuni . Fisso per qualche .

  • Dimostrare che in e' un sottospazio vettoriale.
  • trovare la dimensione di


spazio vettoriale: Verifico le proprietà della definizione:

  1. Il vettore nullo appartiene a , perche' Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle a_1*0\+a_d*0=0} e questo soddisfa l'equazione
  2. Se considero due vettori colonna e in , allora
    per definizione.Facendo la combinazione lineare con opportuni scalari ottengo
    Allora si ha che anche , infatti


Dimensione: Supponiamo per esempio che sia . Allora e' l'insieme dei vettori colonna che hanno come prima componente , al variare di .


Un sisema di generatori per lo spazio è dato da:

Ho generatori (parto da ), quindi la dimensione dello spazio e' minore uguale di e vale l'uguale se e solo se i vettori sono tutti linearmente indipendenti, e questo è vero perché sono vettori della base canonica moltiplicati per uno scalare.

 
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