Teoremi sulle basi

Basi e vettori linearmente indipendenti

Teorema 5.1

Sia uno spazio vettoriale su e sia una base di . Siano vettori appartenenti a linearmente indipendenti. Allora certamente e' minore o uguale di .


In altri termini, se , allora sono linearmente dipendenti. Equivalentemente, se ho una base di vettori, allora e' il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che si possono trovare nello spazio .

 



Dimostrazione 5.8

Dimostriamo che se allora i sono linearmente dipendenti.


Sia . Allora se sono linearmente dipendenti, non c'e' niente da dimostrare.


Supponiamo quindi che siano linearmente indipendenti, e sono quindi non nulli.


Passo 1: in particolare . Siccome i sono una base, possiamo esprimere come combinazione lineare dei . Esistono e sono unici numeri reali tali che .


Certamente qualche . altrimenti . Suppongo che sia senza perdita di generalita', eventualmente riordinando i . Se , allora posso risolvere per . Ottengo che

e rinominando gli scalari
Sia . Allora sappiamo che esistono e sono unici in tali per cui , perche' sono una base. Sostituisco l'espressione di nel passaggio precedente
raccolgo
ho dimostrato che per ogni esistono scalari chiamati tali che
quindi ho dimostrato che
Ho trovato un sistema di generatori in cui e' stato sostituito con .


Passo 2: In particolare e' combinazione lineare dei quindi esistono scalari tali che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle w_2=x_1*w_1+y_2*v_2\+y_k*v_k}

Se per ogni , allora avremmo che . Questo e' assurdo perche' per ipotesi e sono linearmente indipendenti.


Allora qualche . Possiamo supporre senza perdita di generalita' che sia .


Risolvo per e ricavo che:

Ho scritto nella forma Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v_2=t_1*w_1+t_2*w_2+t_3*v_3\+t_k*v_k} Allora sia . siccome generano , esistono scalari tali che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v=a_1*w_1+b_2*v_2\+b_k*v_k} Sostituisco l'espressione di in questo passaggio. Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v=a_1*w_1+b_2*[t_1*w_1+t_2*w_2+t_3*v_3\+t_k*v_k]+b_k*v_k}

Ho dimostrato che:

Passo generico: Se , supponiamo di sapere eventualmente riordinando i che sono un sistema di generatori per . Allora in particolare esistono tali che

Se tutti i fossero nulli, allowa sarebbe combinazione lineare di con , ma questo e' assurdo perche' supponevo linearmente indipendenti.


Allora dev'essere per qualche ,


Riordinando i possiamo supporre senza perdita di generalita' che sia Allora risolvendo per ricavo che

cioè si puo' scrivere come Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x_1*w_1\+x_{j+1}*w_{j+1}+x_{j+2}*w_{j+2}\+x_k*v_k.}

Se e' un elemento arbitrario di , esistono tali che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v=r_1*w_1 \+r_j*w_j+r_{j+1}*v_{j+1}\+r_k*v_k.} Sostituisco a l'espressione ricavata prima: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v_{j+1}=r_1*w_1\+r_j*w_j+r_{j+1}*[x_1*w_1\+x_{j+1}*w_{j+1}+x_{j+2}*w_{j+2}\+x_k*v_k]\+r_k*v_k} Raccolgo. Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v_{j+1}=r_1*w_1\+r_j*w_j+r_{j+1}*x_1*w_1+r_{j+1}*x_{j+1}*w_{j+1}+r_{j+1}*x_{j+2}*w_{j+2}\+r_{j+1}*x_k*v_k+r_k*v_k} Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v_{j+1}=[r_1+r_{j+1}*x_1]*w_1\+r_j*w_j+r_{j+1}*x_{j+1}*w_{j+1}+r_{j+1}*x_{j+2}*w_{j+2}+\dots+ *v_k} per certi scalari ottengo Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle w_{j+1}=s_1*w_1\+s_{j+1}*w_{j+1}\+s_k*v_k} Ricavo che

Procedo induttivamente fino a sostituire tutti i con i , fino al -esimo passo.


Passo : sono un sistema di generatori per , pertanto esistono tali che

Allora sono linearmente dipendenti


Conclusione: Se e' una base di e sono linearmente indipendenti, allora necessariamente .


cvd

 

Basi e cardinalita'

Corollario 5.1

Tutte le basi di hanno la stessa cardinalita', cioe', se e sono basi di , allora necessariamente .

 


Dimostrazione 5.9

Siccome e' una base di , e sono linearmente indipendenti, in base al teorema dimostrato precedentemente .


Scambiando i ruoli delle due basi nel ragionamento, e' una base di e sono linearmente indipendenti, allora .


Se , allora

cvd

 
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