Esempi di spazi vettoriali

con le operazioni definite e' il modello su cui abbiamo costruito la nozione di spazio vettoriale.

Spazio delle funzioni

Esempio 5.1

Se e' un insieme, sia l'isnieme di tutte le funzioni . Allora

  1. Se e sono elementi di , definisco la somma di e come .(Il segno al secondo membro indica la somma di numeri reali. Quello al primo membro indica cio' che sto definendo)
  2. se e , definisco il prodotto .

Affermo che e' uno spazio vettoriale su .


Verifico le proprieta' tipiche dello spazio vettoriale in .

  1. Verifico l'associativita': Se sono elementi di , affermo che . Devo dimostrare che , le due funzioni sono uguali.Applicando due volte la definizione di somma:
    A questo punto applico l'associativita' in perche' ho la somma di numeri reali
    riscrivo il secondo termine usando la definizione di somma a ritroso:
    quindi ho verificato che .
  2. Verifico la distributivita' rispetto alla somma di funzioni.Se e sono elementi di , allora per definizione di somma:
    Uso le proprieta' dei numeri reali:
    Usando la definizione di prodotto a ritroso:
    Concludo che per ogni , .
  3. Verifico la proprieta' commutativa.Per definzione di somma:
    per commutatività in :
    e per definizione di somma a ritroso:


Si verificano analogamente le altre proprietà. Quest'esempio si generalizza a , dato dalle funzioni , dove e' un campo arbitrario.

 

Polinomi reali

Esempio 5.2

Se , definisco come l'insieme dei polinomi in di grado minore o uguale di . E' l'insieme Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \{p_0+p_1*x\+p_d*x^d, \, p_i \in R\}} .


La terna e' uno spazio vettoriale su quando sono definiti come segue:

  1. Dati i polinomiErrore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p(x) = p_0+p_1*x\+p_d*x^d = \sum_{i=0}^{d} p_i*x^i,} Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle q(x)=q_0+q_1*x\+q_d*x^d = \sum_{i=0}^d q_i*x^i,} per la somma si ha
  2. Definiamo il prodotto:
 


Esercizio 5.1

Verificare che e' uno spazio vettoriale su R con .

 



Si può verificare che valgono le proprieta' dello spazio vettoriale.


In generale, posso anche considerare lo spazio dei polinomi reali di grado qualsiasi: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \{ p_0+p_1*x+p_2*x^2+\+p_k*x^k+\dots, \}} Per avere uno spazio vettoriale su , posso imporre che se e' molto grande, oppure impongo che per quasi ogni , questo significa che solo un numero finito di puo' essere diverso da 0. Allora, detto l'insieme dei polinomi di grado , si ha:

e l'unione di tutti questi insiemi per e' l'insieme di tutti i polinomi.

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