Combinazione lineare di un insieme di vettori

Definizione di span

Definizione 5.3

Se e' uno spazio vettoriale su , e scegliamo vettori e scalari la combinazione lineare di con coefficienti e' il vettore

 

La scrittura non e' ambigua, perche' in virtu' dell'associativita', l'ordine con cui sommo gli elementi non cambia.



Definizione 5.4

Sia uno spazio vettoriale su e siano . Definiamo

Lo span di un insieme di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori.

 



Esempio 5.8

Se , il suo span e' l'insieme dei multipli scalari della forma . E' la retta passante per l'origine e con direzione , ossia congiungente l'origine e stesso.

 



Esempio 5.9

Se prendo linearmente indipendenti e non nulli, allora

E' il piano passante per l'origine con vettori direzione e .

 



Esempio 5.10

In , i polinomi di grado minore o uguale a , considero

E' l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

 

Span come sottospazio vettoriale

Osservazione 5.4

Se e' un sottospazio vettoriale di , e , , allora sicuramente .

 


Dimostrazione 5.3

Per , questa e' una definizione. Se , allora posso scrivere per l'associativita'. Ma il primo termine tra parentesi e' un elemento di per il caso , il secondo e' un elemento di per il caso , allora la somma appartiene a .


Ipotesi induttiva: Per induzione, questo e' vero per un certo . Passo a , e scrivo . Il primo termine appartiene a per ipotesi induttiva e il secondo per il primo caso. Allora anche la somma appartiene.

 



Proposizione 5.2

Sia uno spazio vettoriale su . siano . Allora lo e' un sottospazio vettoriale di . Piu' precisamente, e' il piu' piccolo sottospazio vettoriale di contenente i vettori . Tutti i sottospazi vettoriali di che contengono contengono lo span di .

 


Dimostrazione 5.4

Dimostro che lo span è un sottospazio vettoriale:

  1. Posso scrivere lo come e appartiene allo span di . Allora lo span contiene l'origine ed e' non vuoto.
  2. Siano e appartenenti allo span di . Siano . Per definizione, esistono e tali che
    Se considero la combinazione lineare , essa e' uguale a
    Per distributivita'
    Uso la commutativita'
    Uso la distributivita' rispetto alla somma di scalari
    E' ancora una combinazione lineare dei vettori.


Dimostro che lo span è il più piccolo spazio vettoriale che contiene i vettori: se in e' un qualsiasi sottospazio vettoriale, che contiene allora contiene anche , la combinazione lineare di con i coefficienti per ogni scelta di . Quindi contiene ogni elemento di . Quindi contiene lo span.

 

classificazione dei sottospazi vettoriali di R3

Sia in un sottospazio vettoriale. Allora l'elemento neutro appartiene a .


Se consiste del solo elemento neutro, allora e' lo spazio nullo. Altrimenti esiste .


Allora contiene lo span di , che e' l'insieme dei multipli scalari di , indicati con al variare di . Lo span di e' la retta passante per l'origine e con vettore direzione .


Se allora e' una retta per l'origine. Altrimenti esiste un vettore che appartiene a . Quindi non e' un multiplo scalare di , allora e sono linearmente indipendenti.


contiene sia che , quindi contiene , che e' il piano passante per l'origine con vettori direzione e .


Se allora e' un sottospazio vettoriale. Altrimenti, esiste un vettore che appartiene a . Allora concludiamo che , non e' multiplo scalare di , non e' una combinazione lineare di e (non appartiene allo span). Allora concludiamo che sono linearmente indipendenti, e questa terna e' una base di . Allora per ogni , esistono e sono unici tali per cui . ma questo e' un elemento dello span perche' e' combinazione lineare di elementi di . Allora concludo che .


I sottospazi vettoriali di sono lo spazio nullo, le rette per l'origine, i piani per l'origine, lo spazio .

condizioni equivalenti

Lemma 5.2

Se e' uno spazio vettoriale, siano elementi di . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  • qualcuno dei puo' essere espresso come una combinazione lineare di tutti gli altri, cioe' esistono tali che

  • esistono non tutti nulli t.c. la combinazione lineare dei con coefficienti e' il vettore nullo di .
 


Dimostrazione 5.5

: Se vale 1, per qualche , , allora ricavo che il vettore nullo di e' Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \alpha_1*v_1+\dots+\alpha_{j-1}*v_{j-1}-1*v_j+\alpha_{j+1}v_{j+1}\+a_k*v_k.} Questa e' una combinazione lineare dei che mi dà il vettore nullo. Il coefficiente di e' uguale a , e' diverso da 0.


Se uno dei e' combinazione lineare dei restanti trovo una combinazione lineare di con un coefficiente diverso da 0.


: Siano numeri reali tali che e' uguale al vettore nullo e per esempio sia per qualche , diverso da 0, per . Allora concludo che

Allora siccome , ricavo che e'

cvd

 

Vettori linarmente indipendenti

Definizione 5.5

Se soddisfano una qualsiasi delle due condizioni precedenti, diremo che sono linearmente dipendenti. altrimenti diremo che sono linearmente indipendenti.

 


Quindi sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno dei e' combinazione lineare dei restanti , o equivalentemente se ho una combinazione lineare solo quando tutti i sono nulli.



Esempio 5.11

Un singolo vettore è sempre linearmente indipendente quando è diverso dal vettore nullo.

se sono linearmente indipendenti, allora necessariamente e' diverso dal vettore nullo per . Infatti, se ad esempio , potrei scriverlo come combinazione degli altri vettori prendendo gli scalari tutti nulli.

 



Proposizione 5.3

Se e' uno spazio vettoriale e sono elementi di , allora sono linearmente indipendenti se e solo se valgono le seguenti condizioni:

  1. se , allora non e' combinazione lineare di
 


Dimostrazione 5.6

Supponiamo che valgano le due condizioni e che per assurdo siano linearmente dipendenti. Allora esistono non tutti nulli tali che . Sia j il piu' grande indice tale che . se . Alora sicuramente .


Se ,

Quindi . Questo e' assurdo perche' contraddice l'ipotesi 1. Se , allora
Se ., ricavo che
Allora e' combinazione lineare dei precedenti vettori. Questo e' assurdo perche' contraddice 2.


cvd

 

Basi

Definizione 5.6

Sia uno spazio vettoriale su . Una k-upla ordinata (sequenza ordinata di k) si dice una base di se valgono le due seguenti proprieta':

  1. e' generato da , ossia ogni vettore di si puo' esprimere come combinazione lineare di ;(lo span e' l'insieme delle combinazioni lineari di ). Per ogni esistono tali che.
  2. i vettori sono linearmente indipendenti.
 



Osservazione 5.5

Se e' una base di , qualsiasi riordinamento dei e' ancora una base di , ma una base diversa.

 



Esempio 5.12

e' una base di

e' la base canonica di In generale

e' una base di .

 



Esempio 5.13

Se prendo insieme dei polinomi di grado minore o uguale di , se prendo un polinomio Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p(x)=p_0+p_1*x\+p_d*x^d} per certi numeri reali, sono un sistema di generatori di .


sono un sistema di generatori e sono indipendenti e sono una base per lo spazio.

 

Sistema di generatori

Definizione 5.7

Se e' uno spazio vettoriale, un sistema di generatori per e' una famiglia di vettori tali che e' lo span di .


sono un sistema di generatori per se .

 



Lemma 5.3

Sia uno spazio vettoriale e sia una base di . Allora i sono un sistema di generatori per e sono linearmente indipendenti. Per ogni scelta di esisono e sono unici tali che

 


Dimostrazione 5.7

L'esistenza degli scalari si ha per definizione, perche' sono un sistema di generatori per .


Dimostro l'unicità. Siano e in tali che ma e' anche uguale a . Eguaglio le due condizioni.

ma sono linearmente indipendenti quindi tutti i coefficienti devono essere uguali a 0, cioè per ogni .


cvd

 

coordinate

Definizione 5.8

Sia una base di . Se , siano gli unici scalari tali per cui . Allora il vettore colonna dato dalla k-upla si chiama vettore delle coordinate di nella base . Allora il vettore si dice vettore delle coordinate di rispetto alla base .

 


Ogni base definisce un'applicazione biunivoca , che porta un vettore nella corrispondete colonna delle coordinate nella base.



Esempio 5.14

Se chiamo la base di , la colonna delle coordinate del polinomio Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p_0+p_1*x\+p_d*x^d} rispetto alla base e' la colonna dei coefficienti .

 
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