composizione di applicazioni lineari

Linearità della composizione

Teorema 10.1

Siano ,, spazi vettoriali e siano e applicazioni lineari. Allora la composizione e' ancora lineare.

 


Dimostrazione 10.1

Siano elementi di e elementi di . Allora

ma siccome e' lineare,
Sfruttando la linearita' di ottengo
quindi è lineare.


cvd

 

composizione di applicazioni lineari e matrici

Sia , , . L'applicazione lineare corrisponde a una matrice , in altre parole esiste un'unica matrice tale che ossia per ogni .


Allo stesso modo data , esiste ed e' unica una matrice tale che , ossia al variare di .


Siccome e' lineare, allora esiste ed e' unica una matrice tale che , ossia al variare di .

Matrice associata alla composizione

Descriviamo esplicitamente in funzione di e .


Se significa che la i-esima componente di e' la -esima componente del prodotto , quindi

e' univocamente determinata da tale proprieta'.


Inoltre, quindi la i-esima componente di si può anche scrivere come:

In termini di si ha

e sostituendo nella formula sopra l'espressione di :
Ho due somme finite e posso unirle.
allora confrontando queste due uguaglianze, siccome e' univocamente determinata, ricaviamo che i coefficienti sono dati da questa relazione:


Riassumendo,


Teorema 10.2

Se e' una matrice e e' una matrice , e , sono le corrispondenti applicazioni lineari, allora la composizione e' data dall'applicazione ove ha entrate:

 

prodotto tra matrici

Definizione 10.3

Supponiamo di avere matrici e (Il numero di colonne della prima matrice e' uguale al numero di righe della seconda, perche' lo spazio di partenza della seconda applicazione e quello di arrivo della prima dev'essere lo stesso.) Il prodotto e' la matrice (ha il numero di righe di e il numero di colonne di ) avente entrate

 


Si ha quindi che nelle stesse ipotesi la composizione e' ben definita ed e' uguale a .



Esempio 10.1

Considero

Prodotto: siano i vettori riga di e i vettori colonna di . La matrice che ottengo e'
Matrice

 



Osservazione 10.4

Se moltiplico una matrice (una riga di numeri ) e una matrice (una colonna), ottengo una matrice , ovvero un numero (corrisponde al prodotto scalare).


se invece ho una matrice e faccio il prodotto con una matrice ottengo una matrice della forma:

 

associativita' del prodotto tra matrici

Il prodotto di matrici e' associativo.

Supponiamo di avere , , . Allora puo' essere moltiplicata a sua volta per e si ottiene una matrice .


si puo' anche eseguire il prodotto che e' una matrice , e poi moltiplicarlo a sinistra per che e' una matrice e si ottiene la matrice .


L'associativita' vale per il seguente motivo: consideriamo le corrispondenti applicazioni lineari , , . Il prodotto di applicazioni lineari è associativo, quindi

Siccome matrici e applicazioni lineari si corrispondono biunivocamente segue che:

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