Matrice trasposta

Definizione

Definizione 10.8

Sia una matrice . La textit di e' la matrice indicata con appartenente a che si ottiene scambiando le righe con le colonne, quindi definita ponendo per e .

 



Esempio 10.5

Il trasposto di un vettore riga e' un vettore colonna.


Nel caso di una matrice quadrata la trasposizione corrisponde a una riflessione lungo la diagonale


Se traspongo una matrice e poi traspongo la matrice trasposta otengo nuovamente la matrice di partenza.

 

Prodotto fra trasposte

Proposizione 10.3

Siano , e . Allora

 


Dimostrazione 10.5

Per definizione di matrice trasposta:

e il prodotto si esplicita come
Passo alla trasposta

cvd

 

Trasposta dell'inversa

Proposizione 10.4

Se e' invertibile, allora anche e' invertibile e .

 


Dimostrazione 10.6

Il risultato si ricava subito applicando il teorema sulla trasposizione del prodotto, infatti:

cvd

 

Complemento ortogonale

Osservazione 10.9

Sia matrice appartenente a . Allora se la funzione manda nel prodotto , si ha che esiste e la funzione manda in .


Osservo che se e solo se , quindi se e solo se per ogni , quindi se e solo se per ogni . Per il teorma sulla trasposiione del prodotto la condizione è verificata se e solo se , cioè se e solo se (e' il prodotto scalare standard in ) per ogni appartenente a . quindi se e solo se sta nel complemento ortogonale dell'immagine di .

 



Lemma 10.1

L'immagine di e' contenuta in e anche l'ortogonale dell'immagine di e' contenuta in

Se allora .

Quindi il rango di definita da in e' uguale alla dimensione dello spazio di partenza a cui sottraggo la dimensione del ker di . Questo equivale a

 



Corollario 10.1

Se allora .

 
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