Calcolo della matrice inversa

Condizione per l'invertibilità

La matrice

e' invertibile se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti, e quindi se e solo se .


Allo stesso modo se prendo una matrice con colonne questa sara' una matrice invertibile se e solo se il rango della matrice e' uguale a 3 e quindi se e solo se e' una base di e quindi se e solo se .


Supponiamo di avere una matrice . e' invertibile se e solo se il suo rango e' uguale a , quindi se e solo se la matrice ridotta in forma a scala ha solo gradini, quindi se le entrate della diagonale nella matrice ottenuta dopo l'eliminazione gaussiana sono diverse da 0. Non si ha perdita di generalita' nel dire che tutte le entrate diagonali della matrice ridotta a scala siano uguali a 1, infatti posso dividere ogni riga per un certo coefficiente in modo che tale entrata sia uguale a 1. Dopo ulteriori operazioni per righe posso pervenire alla matrice identita'


Concludo che e' invertibile se e solo se posso trasformarla nell'identita' mediante una opportuna sequenza di operazioni elementari per righe.


Eseguire un'operazione elementare per righe su una matrice equivale a moltiplicarla a sinistra per un'opportuna matrice (corrispondente all'operazione i-esima), dove e' la matrice che si ottiene eseguendo la stessa operazione su .


Supponiamo che dopo operazioni elementari per righe su si ottenga l'identità. Per l'associativita' posso scrivere

allora l'inversa di e' .


e' la matrice che si ottiene a partire dalla matrice identita' facendo su di essa le stesse operazioni fatte prima su per arrivare a .


Riassumendo,


Teorema 10.6

e' invertibile se e solo se esiste una sequenza finita di operazioni elementari per righe che porta nell'identità . In tal caso la matrice inversa di e' la matrice che si ottiene da con la stessa sequenza di operazioni elementari per righe.

 


Esempio 10.2

Calcolare l'inversa della matrice:

le colonne sono linearmente indipendenti, quindi la matrice e' invertibile. scrivo di fianco la matrice identita', separandola dalla matrice di partenza con una riga verticale. Faccio operazioni per righe in modo che la matrice di partenza sia uguale alla matrice identita'. Faccio le stesse operazioni anche sulla matrice a destra. Quando la matrice a sinistra dopo r operazioni per righe e' diventata la matrice identita', la matrice che ottengo a destra e' l'inversa di quella di partenza.
La matrice inversa e'

Verifica: moltiplico la matrice per la matrice originaria.

 


Esempio 10.3

Determinare se data da e' invertibile e nel caso trovarne l'inversa.

Cerco la funzione che moltiplicata per la funzione data mi da' la funzione identita' . Uguagliando le singole componenti:

 


Esempio 10.4

Considero la matrice

Stabilire se il sistema lineare con e ammette un'unica soluzione per ogni e nel caso trovarla.

Il sistema ha un'unica soluzione se e solo se e' biunivoca, quindi se e solo se e' invertibile. In tal caso se e solo se (se e' invertibile anche l'inversa e' invertibile), quindi se e solo se .


Cerco l'inversa della matrice.

Matrice inversa:
Per ogni vettore colonna in la soluzione del sistema lineare dove e' data da e'

 

Considerazioni generali invertibilita' del prodotto

Proposizione 10.1

Se e sono matrici invertibili, allora tale e' anche e , in altre parole l'inverso del prodotto e' il prodotto degli inversi ma nell'ordine inverso.


Dim. Verifica dell'invertibilità: L'applicazione associata alla composizione di matrici è:

e sono invertibili quindi e sono biunivoche.


Quindi anche e' biunivoca, e' un automorfismo di , questo implica che e' invertibile.


Prodotto degli inversi: Se calcolo siccome il prodotto e' associativo, posso riscriverlo come:

Siccome e' invertibile si ha che
Ma anche e' invertibile quindi il tutto e' uguale a .


cvd

 



Proposizione 10.2

Viceversa, se e' invertibile, segue che sono invertibili.

 


Dimostrazione 10.4

La composizione di applicazioni lineari ha sempre un rango uguale al minimo delle due. Sfruttando la corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari:

AB e' invertibile se e solo se . Quindi invertibile implica che , e segue che e sono invertibili.


cvd

 
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