Applicazioni lineari tra spazi euclidei

Prodotto matrice per vettore

Sia la base canonica di . Siano elementi di , della forma .


Sia l'unica applicazione lineare t.c. . Esplicitamente, Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1*e_1\+x_k*e_k)=x_1*f(e_1)\+x_k*f(e_k) = x_1*A^1\+x_k*A^k} Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle = x_1*(a_{11}, \dots,a_{l1})\+x_k*(a_{1k}, \dots,a_{lk})} Scritto come un unico vettore: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle =(a_{11}*x_1\+a_{1k}*x_k, \dots, \, a_{l1}*x_1\+a_{lk}*x_k)}



Definizione 10.1

Sia una matrice e sia un vettore colonna in . Il prodotto matrice per vettore ha come risultato il seguente vettore colonna: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{array}'): {\displaystyle A X = \begin{array}{c}a_{11}*x_1\+a_{1k}*x_k \\\ldots \\a_{l1}*x_1+a_{l2}*x_2\+a_{lk}*x_k\end{array}}

 


Quindi possiamo riscrivere lineare come , con (vettore colonna) dove e' la matrice che ha per colonne .



Definizione 10.2

Lo spazio delle matrici a coefficienti in si indica con la notazione .

 

Corrispondenza biunivoca tra applicazioni lineari e matrici

Le applicazioni lineari sono tutte e sole quelle della forma: per qualche matrice .


In particolare data una qualsiasi in l'applicazione lineare corrispondente che porta in nel prodotto e' l'unica applicazione che porta un vettore della base canonica nella corrispondente colonna della matrice. E' l'unica tale che dove gli costituiscono la base canonica di .


C'e' una corrispondenza biunivoca tra le applicazioni lineari e lo spazio .

Nucleo immagine e controimmagine

Osservazione 10.1

Se sta in e e' la corrispondente applicazione lineare tale che , allora lo spazio immagine di e' dove e' la prima colonna di e così via. In altre parole lo spazio immagine e' lo span delle colonne della matrice.

 



Ricaviamo che il rango di e' la dimensione dello span delle colonne, e quindi è il rango della matrice associata.



Osservazione 10.2

Il nucleo di e'

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle =\{(x_1,\dots,x_k) \, t.c. \, a_{i1}*x_1\+a_{ik}*x_k=0, \, \forall i=1,l\}} Quindi e' precisamente lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di equazioni in incognite: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}a_{11}*x_1\+a_{1k}*x_k=0 \\\ldots \\a_{l1}*x_1\+a_{lk}*x_k=0\end{sistema}}

 


Il teorema del rango si puo' riesprimere in questo caso: la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo definito da sommato al rango per colonne di e' uguale a (numero delle colonne) se e' una matrice .



Osservazione 10.3

Se prendo , la controimmagine di e' il vuoto se non appartiene allo span delle colonne di . Se appartiene allo span delle colonne di , allora la controimmagine di e' l'insieme di cioè tali che , quindi e' l'insieme Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \{(x_1,\dots,x_k) t.c. a_{i1}*x_1\+a_{ik}*x_k=v_i \forall i=1,l\}}

La controimmagine di e' lo spazio delle soluzioni del sistema lineare non omogeneo di equazioni in incognite. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}a_{11}*x_1\+a_{1k}*x_k=v_1 \\\ldots \\a_{l1}*x_1\+a_{lk}*x_k=v_l\end{sistema}}

Ricaviamo che dato un sistema lineare di equazioni in incognite della forma Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}a_{11}*x_1\+a_{1k}*x_k=v_1 \\\ldots \\a_{l1}*x_1\+a_{lk}*x_k=v_l\end{sistema}} il sistema e' compatibile (ammette soluzioni) se e solo se il vettore appartiene allo span delle colonne della matrice che definisce il sistema.

e in tal caso Lo spazio delle soluzioni e' un traslato dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo (con per ogni ), che e' il nucleo dell'applicazione lineare.

La soluzione generale del sistema non omogeneo e' la soluzione particolare sommata alla soluzione generale del sistema lineare omogeneo.

 
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