Spazio nullo di un prodotto scalare

Definizione 15.6
Sia uno spazio vettoriale su . Sia un prodotto scalare. Lo textit di indicato con e' l'insieme di tutti i con la proprieta' che per ogni .
 



Teorema 15.1

Lo spazio nullo di un prodotto scalare è uno spazio vettoriale.

 


Dimostrazione 15.1

per ogni , quindi il vettore nullo appartiene allo spazio nullo del prodotto scalare, che di conseguenza e' non vuoto.


Se sono elementi dello spazio nullo del prodotto scalare e sono scalari, per ogni si ha che, per la linearità di nella prima componente,

siccome e stanno nello spazio nullo ottengo che per ogni scelta di , e quindi anche appartiene allo spazio nullo.


cvd

 

Caso particolare V= R^n

Sia . Sia una matrice simmetrica e consideriamo il corrispondente prodotto scalare

Determiniamo lo spazio nullo di questo prodotto scalare.


appartiene allo spazio nullo di se e solo se per ogni , quindi appartiene allo spazio nullo se e solo se per ogni , oppure se e solo se per ogni che appartiene a .


Il prodotto scalare standard e' non degenere, quindi affinché la condizione sia vera dev'essere necessariamente il vettore nullo di . Di conseguenza appartiene allo spazio nullo se e solo se .


In conclusione, lo spazio nullo di prodotto scalare su e' il nucleo della matrice .


Abbiamo una corrispondenza biunivoca tra l'insieme di tutti i prodotti scalari non degeneri e le matrici simmetriche invertibili (infatti se una matrice è invertibile, il suo nucleo, e quindi il suo spazio nullo, è ridotto al solo zero e quindi il prodotto scalare è non degenere).


Esempio 15.9

La matrice

e' una matrice simmetrica e definisce un prodotto scalare dato da
e' un prodotto scalare non degenere perche' e' invertibile.

 



Esempio 15.10

Data la matrice

il prodotto scalare ad essa associato è
quindi e' degenere perche' la matrice non e' invertibile.


Lo spazio nullo del prodotto scalare e' il nucleo della matrice, e quindi e' .

 
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