Matrici e prodotti scalari in spazi generici

Matrici e forme bilineari

Sia uno spazio vettoriale d-dimensionale su , con . Sia un prodotto scalare e sia una base di .


Siano , e poniamo e le colonne delle coordinate di e rispettivamente nella base , in modo che

Allora
Uso la linearita' sulla prima componente.
Uso la linearita' di sulla seconda componente

Supponiamo , allora


Definizione 15.9

Se e' un prodotto scalare o piu' in generale una forma bilineare, e se e' una base di , la matrice di rispetto alla base e' la matrice di entrate . In particolare vale la relazione , .


Se e' un prodotto scalare, allora

quindi anche la matrice e' simmetrica.

 



Viceversa, se e' una matrice simmetrica , tale che , definisco la forma bilineare tale che

Poiché (è un numero), traspongo il prodotto di matrici e ottengo
ma , quindi
pertanto è anche simmetrica.

Spazio nullo

Nelle ipotesi precedenti, lo spazio nullo di e'

Questo vuol dire che siccome il prodotto scalare standard e' non degenere, allora la condizione è soddisfatta quando . Quindi appartiene allo spazio nullo se e solo se , cioè lo spazio nullo e' la controimmagine del nucleo di mediante .


Ricavo che la dimensione dello spazio nullo e' uguale alla dimensione del nucleo di , perche' e' un isomorfismo.


Riassumendo,


Proposizione 15.1

Sia uno spazio vettoriale d-finitodimensionale. Sia una base di e sia un prodotto scalare. Diciamo la matrice del prodotto scalare nella base data. Allora lo spazio nullo di e' la controimmagine mediante del nucleo di .


In particolare, la dimensione di tale spazio nullo e' uguale alla dimensione del nucleo di , quindi si ricava il seguente corollario.

 



Corollario 15.1

e' non degenere se e solo se lo spazio nullo e' ridotto al solo 0, quindi se e solo se e' una matrice invertibile ovvero il nucleo di e' 0.

 



Esempio 15.13

Sia la base di e sia il prodotto scalare standard.


La matrice del prodotto scalare standard in questa base si ottiene facendo il prodotto scalare tra tutte le combinazioni possibili di vettori. In particolare

quindi

 



Esempio 15.14

Prendiamo spazio dei polinomi di grado , e sia

e' un prodotto scalare definito positivo, infatti puo' essere uguale a 0 se e solo se , e questo non è possibile perché un polinomio di grado non nullo ha al più tre radici.


Prendo la base e calcolo la matrice di questo prodotto nella base: si sfrutterà più volte il fatto che l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico è sempre nullo.

La matrice che ottengo e'
Tutte le entrate diagonali sono positive, infatti il prodotto e' positivo.

 



Osservazione 15.2

Nelle ipotesi precedenti, spazio vettoriale, prodotto scalare, e' definito positivo se e solo se per ogni , e quindi se e solo se con , e quindi se e solo se . La condizione è soddisfatta se è invertibile e soddisfa il criterio dei minori incapsulati.

 
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