Forme bilineari e prodotti scalari su spazi euclidei

Prodotti scalari e matrici

Considero una forma bilineare, non necessariamente simmetrica, che chiamo .


Siano e elementi di e sia la base canonica.


Possiamo scrivere che e , allora

Uso la linearita' sulla prima componente e lascio la seconda fissata: porto fuori gli scalari.
Uso la linearita' sulla seconda componente:
Se considero La matrice con entrate posso riscrivere l'espressione come
Ma e' l'entrata i-esima del prodotto quindi:
Dal prodotto si ottiene come risultato uno scalare, perche' e' un vettore colonna e e' un vettore riga.

Unicita' della matrice C

Sia un'altra matrice tale che

per ogni .

Se (vettori della base canonica) si ottiene:

( è la j-esima colonna della matrice)


Analogamente, se considero allora la matrice con entrate si ha

Allora le due matrici sono necessariamente uguali.


ConclusioneOgni forma bilineare su , cioe' ogni bilineare puo' essere scritta nella forma:

al variare di per un'unica matrice e precisamente . Quindi si può scrivere
al variare di .

Viceversa se partiamo da una matrice di dimensione , l'applicazione definita ponendo

e' bilineare.

Abbiamo stabilito che esiste una corrispondenza biunivoca fra le forme bilineari su e le matrici .



Esempio 15.5

Il prodotto scalare standard tale che corrisponde alla matrice identità.

 



Esempio 15.6

Prendo

Se prendo un qualsiasi vettore della base canonica, e . La matrice in questione e'

 



Esempio 15.7

Analogamente se considero che , poiché per qualsiasi vettore della base canonica la somma delle componenti e' uguale a 1, la matrice ha tutte le entrate uguali a 1.

 



Esempio 15.8

Se considero

(è la formula del determinante di una matrice ) ottengo che

Quindi

 

Corrispondenza biunivoca tra prodotti scalari e matrici simmetriche

Se le forme bilineari sono in corrispondenza biunivoca con le matrici , i prodotti scalari (forme bilineari e simmetriche) sono in corrispondenza biunivoca con le matrici simmetriche.



Definizione 15.5

Una matrice si dice textit se è uguale alla sua trasposta, cioè se per ogni , si ha .

 



Supponiamo che sia un prodotto scalare. allora la matrice corrispondente soddisfa la condizione . Poiché e' simmetrica, per ogni e , ovvero è simmetrica.


Viceversa, sia una matrice simmetrica e definiamo la corrispondente forma bilineare , allora , in particolare, poiché è uno scalare coincide con il suo trasposto e si può scrivere .


Usando la formula , si può scrivere

(sto supponendo che sia simmetrica, quindi ). Quindi, , cioè è simmetrica.


textit.

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