Dipendenza della matrice M B da B

Nelle ipotesi precedenti ( spazio vettoriale, una base e un prodotto scalare) sia la matrice simmetrica che rappresenta rispetto alla base ; essa e' l'unica matrice tale per cui per ogni si ha

Ci si chiede se dipende da . Equivalentemente, date due basi e di , ci si chiede che relazione c'e' tra e .


Per ogni , lavorando con la base si ha

invece lavorando nella base ottengo

Per ogni si ha che la colonna delle coordinate di nella base si ottiene moltiplicando per la colonna delle coordinate di nella base .


Si ottiene per ogni , in termini della base

il trasposto di un prodotto e' il prodotto dei trasposti nell'ordine inverso, quindi
Uso l'associativita':
Ricaviamo che .



Proposizione 15.2

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale e sia un prodotto scalare o una forma bilineare (non si usa la simmetria di ).


Siano e basi di , allora, la matrice di nella base e' legata alla matrice nella base dalla formula:

 


Esempio 15.15

Prendo e .


La matrice del prodotto scalare standard in questa base, che abbiamo calcolato precedentemente, e'

Questa matrice si puo' ricavare anche con la formula seguente:

Si ha che e' la matrice identita', mentre e' la matrice che ha come colonne i vettori della base data, cioè
La sua trasposta ha come righe i vettori ed e' la matrice:

Faccio il prodotto tra queste tre matrici:

 



Esempio 15.16

Sia

e chiamo l'applicazione ad essa associata, cioè ( rappresenta rispetto alla base canonica). e' non degenere e non e' definito positivo.


Sia una base di : la matrice di in questa base e' il prodotto tra queste tre matrici:

e svolgendo il prodotto si ottiene
Per controllare se i conti sono giusti posso fare una verifica esplicita:

 



Esempio 15.17

Sia una base. Trovare la matrice di e di nella base , sia usando la formula che calcolando entrata per entrata.

Caso 1: : e' data dal prodotto tra queste tre matrici:

e svolgendo i calcoli si ha:
Verifica esplicita:

Caso 2: . e' il prodotto delle tre matrici

e svolgendo il prodotto si ottiene:

Verifica esplicita:

 
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