Definizione ed esempi di prodotti scalari

Forme bilineari

Definizione 15.1

Sia uno spazio vettoriale. Una forma bilineare su e' un'applicazione che e' lineare separatamente su qualsiasi componente. In altre parole, e' tale che per ogni e , si ha

 



Definizione 15.2

Una forma bilineare si dice simmetrica se per ogni .

 



Esempio 15.1

L'applicazione

e' bilineare e non simmetrica. Il prodotto scalare standard è bilineare e simmetrico.

 



Definizione 15.3

Un prodotto scalare su e' una forma bilineare, simmetrica su . (non esiste solo il prodotto scalare standard, ma anche altri tipi di prodotti scalari)

 

Esempi

Esempio 15.2

Sia , con

e' bilineare perche' e' omogenea di grado 1 in ogni componente. Osservo che se considero ricaviamo che

 



Esempio 15.3

Sia tale che . e' bilineare e simmetrica. Inoltre, osservo che se , .

 

Prodotto scalare non degenere

Definizione 15.4
Un prodotto scalare si dice non degenere se per ogni con esiste un tale che .
 



Esempio 15.4

l prodotto scalare standard tale che e' non degenere, perche' ed e' diverso da 0 per ogni .

 


Il prodotto dell'esempio 1 è degenere perché il prodotto scalare tra un generico e il vettore è sempre nullo.

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